Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ: Gọi $S$ là tập các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( 4\left| \sin x...

Phương trình đã cho tương đương với: $f\left( 4\left| \sin x \right|+m \right)=3\left( * \right)$
Từ đồ thị hàm số suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4\left| \sin x \right|+m=-1 \\
& 4\left| \sin x \right|+m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| \sin x \right|=-\dfrac{m+1}{4}\left( 1 \right) \\
& \left| \sin x \right|=\dfrac{2-m}{4}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: $\left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{m+1}{4}\ge 0 \\
& -\dfrac{m+1}{4}\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1\le 0 \\
& m+1\ge -4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -5\le m\le -1.$
Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2-m}{4}\ge 0 \\
& \dfrac{2-m}{4}\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-m\ge 0 \\
& 2-m\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 2.$
Xét phương trình $\left| \sin x \right|=\alpha $
Nếu $\alpha =0$ thì $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi .$ Phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;4\pi \right].$
Nếu $\alpha =1$ thì $\sin x=\pm 1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi .$ Phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;4\pi \right].$
Nếu $0<\alpha <1$ thì $\sin x=\pm \alpha .$ Phương trình có 8 nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;4\pi \right].$
Vậy nếu $m<-2$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm, phương trình $\left( 1 \right)$ chỉ có tối đa 8 nghiệm.
Nếu $m>-1$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm, phương trình $\left( 2 \right)$ chỉ có tối đa 8 nghiệm.
Vì $m$ nguyên nên:
+) $m=-2$ Phương trình $\left( 1 \right)$ có 8 nghiệm, phương trình $\left( 2 \right)$ có 4 nghiệm (thỏa mãn).
+) $m=-1$ Phương trình $\left( 2 \right)$ có 8 nghiệm, phương trình $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm (thỏa mãn).
Vậy $S=\left\{ -2;-1 \right\}.$