Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $f=f'\left( x \right)$ như hình vẽ, Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+1$.Trong 4 mệnh đề dưới đây:
$\left( I \right)g\left( -3 \right)<g\left( -1 \right)$ $\left( II \right)$ Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;1 \right)$
$\left( III \right)\underset{x\in \left[ -1;0 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$ $\left( IV \right)\underset{x\in \left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}$
Số mệnh đề đúng là:
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
$\left( I \right)g\left( -3 \right)<g\left( -1 \right)$ $\left( II \right)$ Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;1 \right)$
$\left( III \right)\underset{x\in \left[ -1;0 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$ $\left( IV \right)\underset{x\in \left[ -1;0 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}$
Số mệnh đề đúng là:
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$
- Sử dụng tương giao giữa các đồ thị hàm số giải phương trình $g'\left( x \right)=0$
- Lập BBT của hàm số $y=g\left( x \right)$ và kết luận.
Cách giải:
Ta có:
$\begin{aligned}
& g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{2} \\
& g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ và $y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
BBT hàm số y= g( x) :
Dựa vào BBT ta thấy:
Hàm số y= g( x) nghịch biến trên $\left( -3;-1 \right)$ nên $g\left( -3 \right)>g\left( -1 \right)$, do đó mệnh đề (I) sai.
Hàm số y= g( x) không đồng biến trên $\left( -3;1 \right)$ nên mệnh đề (II) sai.
$\underset{x\in \left[ -1;0 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$ nên mệnh đề (III) đúng.
$\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}$ nên mệnh đề (IV) đúng.
Vậy có 2 mệnh đề đúng.
- Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$
- Sử dụng tương giao giữa các đồ thị hàm số giải phương trình $g'\left( x \right)=0$
- Lập BBT của hàm số $y=g\left( x \right)$ và kết luận.
Cách giải:
Ta có:
$\begin{aligned}
& g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{2} \\
& g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ và $y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
BBT hàm số y= g( x) :
Dựa vào BBT ta thấy:
Hàm số y= g( x) nghịch biến trên $\left( -3;-1 \right)$ nên $g\left( -3 \right)>g\left( -1 \right)$, do đó mệnh đề (I) sai.
Hàm số y= g( x) không đồng biến trên $\left( -3;1 \right)$ nên mệnh đề (II) sai.
$\underset{x\in \left[ -1;0 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$ nên mệnh đề (III) đúng.
$\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}$ nên mệnh đề (IV) đúng.
Vậy có 2 mệnh đề đúng.
Đáp án B.