Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${y}'={f}'\left( x...

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${y}'={f}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+6x$ và $f\left( 0 \right)=-1$ nên hàm số:
$y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Xét: ${g}'\left( x \right)=\left( 2x-3 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-3=0 \\
& {{x}^{2}}-3x+2=0 \\
& {{x}^{2}}-3x+2=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{2}\notin \left[ -3;\dfrac{1}{2} \right] \\
& x=1\notin \left[ -3;\dfrac{1}{2} \right] \\
& x=2\notin \left[ -3;\dfrac{1}{2} \right] \\
& x=0\in \left[ -3;\dfrac{1}{2} \right] \\
& x=3\notin \left[ -3;\dfrac{1}{2} \right] \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -3;\dfrac{1}{2} \right]$ là:

Suy ra: $\underset{\left[ -3;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)+2022=2025$.