Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm y = ${f}'\left( x \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có $5$ điểm cực trị
A. 15.
B. 16.
C. 17.
D. 18.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có $5$ điểm cực trị
A. 15.
B. 16.
C. 17.
D. 18.
Ta có ${g}'\left( x \right)=2\left( x-4 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2\left( x-4 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x+m=1\left( \text{nghiem boi 2} \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=0\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=2\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0$ có $5$ nghiệm bội lẻ $\Leftrightarrow $ mỗi phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ đều có hai
nghiệm phân biệt khác $4.$ $\left( * \right)$
Cách 1: $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 16-m>0 \\
& 16-m+2>0 \\
& m\ne 16 \\
& m\ne 18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<16$.
Vậy có $15$ giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn điều kiện.
Cách 2: Xét đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{2}}-8x$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:y=-m,{{d}_{2}}:y=-m+2$ (hình vẽ).
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt $\left( C \right)$ tại bốn điểm phân biệt $\Leftrightarrow -m>-16\Leftrightarrow m<16.$
Vậy có $15$ giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn điều kiện.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2\left( x-4 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x+m=1\left( \text{nghiem boi 2} \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=0\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=2\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0$ có $5$ nghiệm bội lẻ $\Leftrightarrow $ mỗi phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ đều có hai
nghiệm phân biệt khác $4.$ $\left( * \right)$
Cách 1: $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 16-m>0 \\
& 16-m+2>0 \\
& m\ne 16 \\
& m\ne 18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<16$.
Vậy có $15$ giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn điều kiện.
Cách 2: Xét đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{2}}-8x$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:y=-m,{{d}_{2}}:y=-m+2$ (hình vẽ).
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt $\left( C \right)$ tại bốn điểm phân biệt $\Leftrightarrow -m>-16\Leftrightarrow m<16.$
Vậy có $15$ giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn điều kiện.
Đáp án A.