Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $x\left( {f}'\left( x \right)+x \right)=\left( x+1 \right)f\left( x \right); f\left( 1 \right)=e+1$. Biết rằng $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{a}{b}$ ; trong đó $a,b$ là những số nguyên dương và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Khi đó giá trị của $\left( 2a+b \right)$ tương ứng bằng:
A. $4$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $7$.
Với $x=0$ ta có: $f\left( 0 \right)=0$ (1)
Với $x\ne 0$
Chia cả hai vế cho ${{x}^{2}}$ : $\dfrac{x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}-\dfrac{f\left( x \right)}{x}=-1\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}-\dfrac{f\left( x \right)}{x}=-1$
Nhân hai vế với ${{e}^{-x}}$ : ${{e}^{-x}}{{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}-{{e}^{-x}}\dfrac{f\left( x \right)}{x}=-{{e}^{-x}}$ $\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x}.{{e}^{-x}} \right]}^{\prime }}=-{{e}^{-x}}$
Lấy nguyên hàm hai vế: $\dfrac{f\left( x \right)}{x}.{{e}^{-x}}={{e}^{-x}}+C$
Do $f\left( 1 \right)=e+1$ nên: $\dfrac{f\left( 1 \right)}{1}.{{e}^{-1}}={{e}^{-1}}+C\Leftrightarrow C=1$
Vậy $\dfrac{f\left( x \right)}{x}.{{e}^{-x}}={{e}^{-x}}+1\Leftrightarrow f\left( x \right)=x\left( 1+{{e}^{x}} \right)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $f\left( x \right)=x\left( 1+{{e}^{x}} \right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài
Khi đó: $\int\limits_{0}^{1}{x\left( 1+{{e}^{x}} \right)dx}=\left. \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}=\left. \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}+\left. \left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{3}{2}$.
Kết luận $\left( 2a+b \right)=2.3+2=8$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $7$.
Ta có: $x\left( {f}'\left( x \right)+x \right)=\left( x+1 \right)f\left( x \right)$ $\Leftrightarrow x{f}'\left( x \right)-xf\left( x \right)-f\left( x \right)=-{{x}^{2}}$ Với $x=0$ ta có: $f\left( 0 \right)=0$ (1)
Với $x\ne 0$
Chia cả hai vế cho ${{x}^{2}}$ : $\dfrac{x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}-\dfrac{f\left( x \right)}{x}=-1\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}-\dfrac{f\left( x \right)}{x}=-1$
Nhân hai vế với ${{e}^{-x}}$ : ${{e}^{-x}}{{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}-{{e}^{-x}}\dfrac{f\left( x \right)}{x}=-{{e}^{-x}}$ $\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x}.{{e}^{-x}} \right]}^{\prime }}=-{{e}^{-x}}$
Lấy nguyên hàm hai vế: $\dfrac{f\left( x \right)}{x}.{{e}^{-x}}={{e}^{-x}}+C$
Do $f\left( 1 \right)=e+1$ nên: $\dfrac{f\left( 1 \right)}{1}.{{e}^{-1}}={{e}^{-1}}+C\Leftrightarrow C=1$
Vậy $\dfrac{f\left( x \right)}{x}.{{e}^{-x}}={{e}^{-x}}+1\Leftrightarrow f\left( x \right)=x\left( 1+{{e}^{x}} \right)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $f\left( x \right)=x\left( 1+{{e}^{x}} \right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài
Khi đó: $\int\limits_{0}^{1}{x\left( 1+{{e}^{x}} \right)dx}=\left. \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}=\left. \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}+\left. \left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{3}{2}$.
Kết luận $\left( 2a+b \right)=2.3+2=8$.
Đáp án C.