Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm với mọi $x\in...

Phương pháp:
Xác định khoảng mà $y'\le 0.~$
Cách giải:

$y=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)\Rightarrow y'=2(x+1)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$

$y'\le 0\Leftrightarrow 2(x+1)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)\le 0\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}

& \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

x+1\le 0 \\

{{f}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+2x \right)\ge 0 \\

\end{array} \right. \\

& \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

x+1\ge 0 \\

{{f}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+2x \right)\le 0 \\

\end{array} \right. \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow$$\left[ \begin{aligned}

& \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

x\le -1 \\

-2\le {{x}^{2}}+2x\le 3 \\

\end{array} \right. \\

& \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

x\ge -1 \\

\left[ \begin{aligned}

& {{x}^{2}}+2x\le -2 \\

& {{x}^{2}}+2x\ge 3 \\

\end{aligned} \right. \\

\end{array} \right. \\

\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}

\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

x\le -1 \\

-3\le x\le 1 \\

\end{array} \right. \\

\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

x\ge -1 \\

\left[ \begin{array}{*{35}{l}}

x\le -3 \\

\end{array} \right. \\

x\ge 1 \\

\end{array} \right. \\

\end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}

-3\le x\le -1 \\

x\ge 1 \\

\end{array} \right. \right.$

Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( -3;-1 \right),\left( 1;+\infty \right).~$

Do $\left( -2;-1 \right)\subset \left( -3;-1 \right)$ nên Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2;-1 \right).~$