Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên tập xác định và...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên tập xác định và thỏa mãn

2 f (x) . [1 - 2 x^{2} . f (x)] = x . f^{'} (x); f (2) = \frac{2}{3}

. Khi đó,

\int_{1}^{3} f (x) . (x^{3} - \frac{10}{x}) d x

bằng
A. 4.
B. 10.
C.

\frac{25}{2}

.
D.

\frac{21}{2}

.

Ta có

2 f (x) . [1 - 2 x^{2} . f (x)] = x . f^{'} (x) \Leftrightarrow 2 f (x) - 4 x^{2} . f^{2} (x) = x . f^{'} (x)

\Leftrightarrow 2 x . f (x) - 4 x^{3} . f^{2} (x) = x^{2} . f^{'} (x)

\Leftrightarrow \frac{2 x . f (x) - x^{2} . f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 4 x^{3}

\Leftrightarrow {(\frac{x^{2}}{f (x)})}^{'} = 4 x^{3} \Leftrightarrow \int {(\frac{x^{2}}{f (x)})}^{'} d x = \int 4 x^{3} d x \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{f (x)} = x^{4} + C \Leftrightarrow f (x) = \frac{x^{2}}{x^{4} + C}

.
Mà

f (2) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{2^{2}}{2^{4} + C} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = - 10 \Rightarrow f (x) = \frac{x^{2}}{x^{4} - 10}

.
Ta có

\int_{1}^{3} f (x) . (x^{3} - \frac{10}{x}) d x = \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{x^{4} - 10} . (x^{3} - \frac{10}{x}) d x = 4

.

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên tập xác định và...