Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và...

Cách giải:
$y=g(x)=3f(-\sqrt{x-m})+(x-m)\sqrt{x-m}(x\ge m)$
Đặt $-\sqrt{x-m}=u$, ta có: $g(x)=3f(u)-{{u}^{3}}$
$\Rightarrow {{g}^{\prime }}(x)=3\left( {{f}^{\prime }}(u)-{{u}^{2}} \right).{{u}^{\prime }}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}^{\prime }}=0\left( 1 \right) \\
{{f}^{\prime }}(u)={{u}^{2}}(2) \\
\end{array} \right.$
Ta có: $\text{ (1)}\Leftrightarrow {{u}^{\prime }}=\dfrac{-1}{2\sqrt{x+m}}\ne 0\forall x\ne m.$
Số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f'\left( u \right)$ và $y={{u}^{2}}.~$
Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;3)\Rightarrow {{g}^{\prime }}(x)\le 0,\forall x\in (0;3)$ (bằng 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng này)
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{\prime }}(u)-{{u}^{2}}\ge 0 \\
& {{u}^{\prime }}\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{\prime }}(u)-{{u}^{2}}\le 0 \\
& {{u}^{\prime }}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in (0;3)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& u\ge -2 \\
& {{u}^{\prime }}\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& u\le -2 \\
& {{u}^{\prime }}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in (0;3)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& -\sqrt{x-m}\ge -2 \\
& -\dfrac{1}{2\sqrt{x-m}}\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& -\sqrt{x-m}\le -2 \\
& -\dfrac{1}{2\sqrt{x-m}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in (0;3)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{x-m}\le 2 \\
& -\dfrac{1}{2\sqrt{x-m}}\le 0\text{ (luon dung)} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{x-m}\ge 2 \\
& -\dfrac{1}{2\sqrt{x-m}}\ge 0(\text{ vo }ly) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in (0;3)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-m}\le 2,\forall x\in (0;3)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge x-4 \\
m\le x \\
\end{array},\forall x\in (0;3)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge -1 \\
m\le 0 \\
\end{array} \right. \right.$
Mà mlà số nguyên ⇒ $m=0$ hoặc $m=-1.$