Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới.
Đặt $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right) \right]$. Tìm số nghiệm của phương trình ${g}'\left( x \right)=0$.
A. $8$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $2$.
Đặt $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right) \right]$. Tìm số nghiệm của phương trình ${g}'\left( x \right)=0$.
A. $8$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $2$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{f}'\left[ f\left( x \right) \right]$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {f}'\left[ f\left( x \right) \right]=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào đồ thị ta thấy:
TH1: Phương trình $f\left( 'x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x={{x}_{6}} \\
\end{aligned} \right. $, trong đó $ {{x}_{6}}\in \left( 2;3 \right)$.
TH2: Phương trình $f'\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)={{x}_{6}} \\
\end{aligned} \right. $, trong đó $ {{x}_{6}}\in \left( 2;3 \right)$.
+) Xét phương trình $f\left( x \right)=0 \left( 3 \right)$.
Nhận xét số nghiệm phương trình $\left( 3 \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và trục hoành. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi đó phương trình $f\left( x \right)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}; {{x}_{1}}\in \left( -1 ; 0 \right) \\
& x=1 \\
& x={{x}_{7}} ;{{x}_{7}}\in \left( 3 ; 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) Xét phương trình $f\left( x \right)={{x}_{6}} \left( 4 \right)$.
Nhận xét số nghiệm của phương trình $\left( 4 \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y={{x}_{6}}$.
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt đường thẳng $y={{x}_{6}}$ tại 3 điểm phân biệt nên phương trình $f\left( x \right)={{x}_{6}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{2}}; {{x}_{2}}\in \left( {{x}_{1}};0 \right) \\
& x={{x}_{4}} ;{{x}_{4}}\in \left( 0;1 \right) \\
& x={{x}_{8}} ;{{x}_{8}}\in \left( {{x}_{7}};+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy phương trình $g'\left( x \right)=0$ có $8$ nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}};0;{{x}_{4}};1;{{x}_{6}};{{x}_{7}};{{x}_{8}}$
trong đó: $-1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0<{{x}_{4}}<1<2<{{x}_{6}}<3<{{x}_{7}}<{{x}_{8}}$.
& {f}'\left( x \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {f}'\left[ f\left( x \right) \right]=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào đồ thị ta thấy:
TH1: Phương trình $f\left( 'x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x={{x}_{6}} \\
\end{aligned} \right. $, trong đó $ {{x}_{6}}\in \left( 2;3 \right)$.
TH2: Phương trình $f'\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)={{x}_{6}} \\
\end{aligned} \right. $, trong đó $ {{x}_{6}}\in \left( 2;3 \right)$.
+) Xét phương trình $f\left( x \right)=0 \left( 3 \right)$.
Nhận xét số nghiệm phương trình $\left( 3 \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và trục hoành. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi đó phương trình $f\left( x \right)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}; {{x}_{1}}\in \left( -1 ; 0 \right) \\
& x=1 \\
& x={{x}_{7}} ;{{x}_{7}}\in \left( 3 ; 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) Xét phương trình $f\left( x \right)={{x}_{6}} \left( 4 \right)$.
Nhận xét số nghiệm của phương trình $\left( 4 \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y={{x}_{6}}$.
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt đường thẳng $y={{x}_{6}}$ tại 3 điểm phân biệt nên phương trình $f\left( x \right)={{x}_{6}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{2}}; {{x}_{2}}\in \left( {{x}_{1}};0 \right) \\
& x={{x}_{4}} ;{{x}_{4}}\in \left( 0;1 \right) \\
& x={{x}_{8}} ;{{x}_{8}}\in \left( {{x}_{7}};+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy phương trình $g'\left( x \right)=0$ có $8$ nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}};0;{{x}_{4}};1;{{x}_{6}};{{x}_{7}};{{x}_{8}}$
trong đó: $-1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0<{{x}_{4}}<1<2<{{x}_{6}}<3<{{x}_{7}}<{{x}_{8}}$.
Đáp án A.