Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| {{e}^{2x}}-2x-2 \right| \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 9
B. 11
C. 5
D. 7
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| {{e}^{2x}}-2x-2 \right| \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 9
B. 11
C. 5
D. 7
Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
Ta có $g\left( x \right)=f\left( \left| {{e}^{2x}}-2x-2 \right| \right)=f\left( \sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)={{\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}}^{\prime }}.{f}'\left( \sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}} \right)$
$=\dfrac{2\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)\left( 2{{e}^{2x}}-2 \right)}{2\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}}{f}'\left( \sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}} \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{2x}}-2x-2=0 \\
2{{e}^{2x}}-2=0 \\
{f}'\left( \sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}} \right)=0 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{2x}}-2x-2=0 \\
x=0 \\
\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}=a<-1\left( Loai \right) \\
\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}=b\in \left( -1;0 \right)\left( Loai \right) \\
\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}=c\in \left( 0;1 \right) \\
\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}=d>1 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{2x}}-2x-2=0\left( 1 \right) \\
x=0 \\
{{e}^{2x}}-2x-2=c\in \left( 0;1 \right)\left( 2 \right) \\
{{e}^{2x}}-2x-2=-c\in \left( -1;0 \right)\left( 3 \right) \\
{{e}^{2x}}-2x-2=d,d>1\left( 4 \right) \\
{{e}^{2x}}-2x-2=-d,-d<-1\left( 5 \right) \\
\end{array} \right.$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{e}^{2x}}-2x-2$ ta có ${h}'\left( x \right)=2{{e}^{2x}}-2=0\Leftrightarrow x=0$.
BBT:
Dựa vào BBT ta có:
+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Phương trình (5) vô nghiệm.
Các nghiệm trên đều là nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn) và phân biệt.
Do đó phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 9 nghiệm bội lẻ.
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ có tất cả 9 điểm cực trị.
Giải chi tiết:
Ta có $g\left( x \right)=f\left( \left| {{e}^{2x}}-2x-2 \right| \right)=f\left( \sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)={{\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}}^{\prime }}.{f}'\left( \sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}} \right)$
$=\dfrac{2\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)\left( 2{{e}^{2x}}-2 \right)}{2\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}}{f}'\left( \sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}} \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{2x}}-2x-2=0 \\
2{{e}^{2x}}-2=0 \\
{f}'\left( \sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}} \right)=0 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{2x}}-2x-2=0 \\
x=0 \\
\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}=a<-1\left( Loai \right) \\
\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}=b\in \left( -1;0 \right)\left( Loai \right) \\
\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}=c\in \left( 0;1 \right) \\
\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-2x-2 \right)}^{2}}}=d>1 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{2x}}-2x-2=0\left( 1 \right) \\
x=0 \\
{{e}^{2x}}-2x-2=c\in \left( 0;1 \right)\left( 2 \right) \\
{{e}^{2x}}-2x-2=-c\in \left( -1;0 \right)\left( 3 \right) \\
{{e}^{2x}}-2x-2=d,d>1\left( 4 \right) \\
{{e}^{2x}}-2x-2=-d,-d<-1\left( 5 \right) \\
\end{array} \right.$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{e}^{2x}}-2x-2$ ta có ${h}'\left( x \right)=2{{e}^{2x}}-2=0\Leftrightarrow x=0$.
BBT:
Dựa vào BBT ta có:
+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Phương trình (5) vô nghiệm.
Các nghiệm trên đều là nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn) và phân biệt.
Do đó phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 9 nghiệm bội lẻ.
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ có tất cả 9 điểm cực trị.
Đáp án A.