Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$ và $f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{2}{xf'\left( x \right)dx}.$
A. $I=3$
B. $I=-1$
C. $I=2$
D. $I=5$
A. $I=3$
B. $I=-1$
C. $I=2$
D. $I=5$
Phương pháp:
- Sử dụng tích phân từng phần để xử lý $I=\int\limits_{1}^{2}{xf'\left( x \right)dx},$ đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right..$
- Từ $f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1$ tính $f\left( 2 \right)$ bằng cách thay $x=1.$
- Biến đổi $f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1\Leftrightarrow 2f\left( 2x \right)-2xf\left( {{x}^{2}} \right)=10x-4{{x}^{3}}-2,$ lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế và tìm $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}.$
Cách giải:
Xét $I=\int\limits_{1}^{2}{xf'\left( x \right)dx}.$ Đặt $\left| f\left( t \right)+m \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)+m=1 \\
& f\left( t \right)+m=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=1-m\text{ }\left( 1 \right) \\
& f\left( t \right)=-1-m\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$ ta có
$I=xf\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}$
$=2f\left( 2 \right)-1-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}$
Ta có: $f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1.$ Thay $x=1\Rightarrow f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=3.$
$\Rightarrow I=5-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}.$
Ta có:
$f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1$
$\Leftrightarrow 2f\left( 2x \right)-2xf\left( {{x}^{2}} \right)=10x-4{{x}^{3}}-2$
Lấy tích phân 2 vế ta có:
$2\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}-\int\limits_{0}^{1}{2xf\left( {{x}^{2}} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 10x-4{{x}^{3}}-2 \right)dx}=2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)d\left( 2x \right)}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( {{x}^{2}} \right)d\left( {{x}^{2}} \right)}=2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)du}=2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2$
Vậy $I=5-2=3.$
- Sử dụng tích phân từng phần để xử lý $I=\int\limits_{1}^{2}{xf'\left( x \right)dx},$ đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right..$
- Từ $f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1$ tính $f\left( 2 \right)$ bằng cách thay $x=1.$
- Biến đổi $f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1\Leftrightarrow 2f\left( 2x \right)-2xf\left( {{x}^{2}} \right)=10x-4{{x}^{3}}-2,$ lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế và tìm $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}.$
Cách giải:
Xét $I=\int\limits_{1}^{2}{xf'\left( x \right)dx}.$ Đặt $\left| f\left( t \right)+m \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)+m=1 \\
& f\left( t \right)+m=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=1-m\text{ }\left( 1 \right) \\
& f\left( t \right)=-1-m\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$ ta có
$I=xf\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}$
$=2f\left( 2 \right)-1-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}$
Ta có: $f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1.$ Thay $x=1\Rightarrow f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=3.$
$\Rightarrow I=5-\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}.$
Ta có:
$f\left( 2x \right)-xf\left( {{x}^{2}} \right)=5x-2{{x}^{3}}-1$
$\Leftrightarrow 2f\left( 2x \right)-2xf\left( {{x}^{2}} \right)=10x-4{{x}^{3}}-2$
Lấy tích phân 2 vế ta có:
$2\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}-\int\limits_{0}^{1}{2xf\left( {{x}^{2}} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 10x-4{{x}^{3}}-2 \right)dx}=2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)d\left( 2x \right)}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( {{x}^{2}} \right)d\left( {{x}^{2}} \right)}=2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)du}=2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2$
Vậy $I=5-2=3.$
Đáp án A.