Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R},$ hàm số $y=f'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R},$ hàm số $y=f'\left( x+2021 \right)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $a,b,c$ là các số nguyên và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi ${{m}_{1}}$ là số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ ; ${{m}_{2}}$ là số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right).$ Khi đó ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}$ bằng:
A. $2b-2a+1$
B. $2b-2a-2$
C. $2b-2a+2$
D. $2b-2a$
Gọi ${{m}_{1}}$ là số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ ; ${{m}_{2}}$ là số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right).$ Khi đó ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}$ bằng:
A. $2b-2a+1$
B. $2b-2a-2$
C. $2b-2a+2$
D. $2b-2a$
Phương pháp:
- Xác định khoảng của $x$ ứng với $f'\left( x+2021 \right)\le 0.$
- Hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ nên $g'\left( x \right)\le 0\forall x\in \left( 1;2 \right)$.
- Đưa về bài toán giải các bất phương trình nghiệm đúng. Từ đó tìm ${{m}_{1}}.$
- Tương tự với hàm số $h\left( x \right),$ tìm ${{m}_{2}}.$
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x+2021 \right)\le 0\Leftrightarrow a\le x+2021\le b\Rightarrow a-2021\le x\le b-2021$
Xét hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$ có $g'\left( x \right)=2\left( x-1 \right).f'\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$
Vì $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ nên
$2\left( x-1 \right).f'\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)\le 0\forall x\le \left( 1;2 \right)$
$\Rightarrow f'\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)\le 0\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\Leftrightarrow a-2021\le {{x}^{2}}-2x+m\le b-2021\forall x\in \left( 1;2 \right)$
Xét $a-2021\le {{x}^{2}}-2x+m\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+2021\ge a-m$
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( {{x}^{2}}-2x+2021 \right)\ge a-m$
Hàm số $y={{x}^{2}}-2x+2021$ đồng biến trên $\left[ 1;2 \right],$ do đó $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( {{x}^{2}}-2x+2021 \right)={{1}^{2}}-2.1+2021=2020$
$\Rightarrow 2020\ge a-m\Rightarrow m\ge a-2020\left( 1 \right).$
Tương tự ${{x}^{2}}-2x+m\le b-2021\forall x\in \left( 1;2 \right)$ ta có $m\le b-2021\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $a-2020\le m\le b-2021\Rightarrow {{m}_{1}}=b-a.$
Chứng minh tương tự với hàm $h\left( x \right)$ ta có ${{m}_{2}}=b-a.$
Vậy ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=2b-2a.$
- Xác định khoảng của $x$ ứng với $f'\left( x+2021 \right)\le 0.$
- Hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ nên $g'\left( x \right)\le 0\forall x\in \left( 1;2 \right)$.
- Đưa về bài toán giải các bất phương trình nghiệm đúng. Từ đó tìm ${{m}_{1}}.$
- Tương tự với hàm số $h\left( x \right),$ tìm ${{m}_{2}}.$
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x+2021 \right)\le 0\Leftrightarrow a\le x+2021\le b\Rightarrow a-2021\le x\le b-2021$
Xét hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$ có $g'\left( x \right)=2\left( x-1 \right).f'\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$
Vì $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ nên
$2\left( x-1 \right).f'\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)\le 0\forall x\le \left( 1;2 \right)$
$\Rightarrow f'\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)\le 0\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\Leftrightarrow a-2021\le {{x}^{2}}-2x+m\le b-2021\forall x\in \left( 1;2 \right)$
Xét $a-2021\le {{x}^{2}}-2x+m\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+2021\ge a-m$
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( {{x}^{2}}-2x+2021 \right)\ge a-m$
Hàm số $y={{x}^{2}}-2x+2021$ đồng biến trên $\left[ 1;2 \right],$ do đó $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( {{x}^{2}}-2x+2021 \right)={{1}^{2}}-2.1+2021=2020$
$\Rightarrow 2020\ge a-m\Rightarrow m\ge a-2020\left( 1 \right).$
Tương tự ${{x}^{2}}-2x+m\le b-2021\forall x\in \left( 1;2 \right)$ ta có $m\le b-2021\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $a-2020\le m\le b-2021\Rightarrow {{m}_{1}}=b-a.$
Chứng minh tương tự với hàm $h\left( x \right)$ ta có ${{m}_{2}}=b-a.$
Vậy ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=2b-2a.$
Đáp án D.