Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình sau đây
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)-2\ln x$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( \dfrac{4}{5};1 \right)$
B. $\left( \dfrac{6}{5};2 \right)$
C. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$
D. $\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{7}{10} \right)$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)-2\ln x$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( \dfrac{4}{5};1 \right)$
B. $\left( \dfrac{6}{5};2 \right)$
C. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$
D. $\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{7}{10} \right)$
Cách giải:
Điều kiện: $x>0$
Ta có: $g'\left( x \right)=2x.f'\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{2}{x}\ge 0$
$\Rightarrow f'\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)\ge \dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
Đặt ${{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}=t\Rightarrow {{x}^{2}}=t+\dfrac{1}{2}$
Khi đó $f'\left( t \right)\ge \dfrac{1}{t+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{2t+1}$
Vẽ đồ thị hàm số $f'\left( t \right)$ và $\dfrac{2}{2t+1}$ trên cùng một hệ trục tọa độ ta nhận thấy hàm số đồng biến khi $t\in \left( 0;0,5 \right)\cup \left( 1,5;+\infty \right)$
Với ${{x}^{2}}=t+\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\sqrt{t+\dfrac{1}{2}}\left( x>0 \right)\Rightarrow x\in \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};1 \right)\cup \left( \sqrt{2};+\infty \right)$
Điều kiện: $x>0$
Ta có: $g'\left( x \right)=2x.f'\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{2}{x}\ge 0$
$\Rightarrow f'\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)\ge \dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
Đặt ${{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}=t\Rightarrow {{x}^{2}}=t+\dfrac{1}{2}$
Khi đó $f'\left( t \right)\ge \dfrac{1}{t+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{2t+1}$
Vẽ đồ thị hàm số $f'\left( t \right)$ và $\dfrac{2}{2t+1}$ trên cùng một hệ trục tọa độ ta nhận thấy hàm số đồng biến khi $t\in \left( 0;0,5 \right)\cup \left( 1,5;+\infty \right)$
Với ${{x}^{2}}=t+\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\sqrt{t+\dfrac{1}{2}}\left( x>0 \right)\Rightarrow x\in \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};1 \right)\cup \left( \sqrt{2};+\infty \right)$
Đáp án A.