Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'(x)-x.f(x)=0,f(x)>0$ $\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=1$. Giá trị của $f\left( \sqrt{2} \right)$ bằng:
A. $e$
B. $\dfrac{1}{e}$
C. ${{e}^{2}}$
D. $\sqrt{e}$
A. $e$
B. $\dfrac{1}{e}$
C. ${{e}^{2}}$
D. $\sqrt{e}$
Phương pháp::
- Tìm hàm số $y=f\left( x \right)$, sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế với $\int{\dfrac{f'(x)}{f(x)}}=\ln |f(x)|+C;f(0)=1$
- Tính giá trị của $f\left( \sqrt{2} \right)$.
Cách giải:
Theo giả thiết ta có: $f'(x)-x.f(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=x.$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\int{\dfrac{f'(x)}{f(x)}}dx=\int{x}dx\Leftrightarrow \ln f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C,(\forall f(x)>0).$
Mặt khác, $f\left( 0 \right)=1$ nên $\ln f(0)=\dfrac{{{0}^{2}}}{2}+C\Leftrightarrow \ln 1=C\Leftrightarrow C=0$.
Do đó, $\ln f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow f(x)={{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}.$
Vậy $f(\sqrt{2})={{e}^{\dfrac{{{(\sqrt{2})}^{2}}}{2}}}=e.$
- Tìm hàm số $y=f\left( x \right)$, sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế với $\int{\dfrac{f'(x)}{f(x)}}=\ln |f(x)|+C;f(0)=1$
- Tính giá trị của $f\left( \sqrt{2} \right)$.
Cách giải:
Theo giả thiết ta có: $f'(x)-x.f(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=x.$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\int{\dfrac{f'(x)}{f(x)}}dx=\int{x}dx\Leftrightarrow \ln f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C,(\forall f(x)>0).$
Mặt khác, $f\left( 0 \right)=1$ nên $\ln f(0)=\dfrac{{{0}^{2}}}{2}+C\Leftrightarrow \ln 1=C\Leftrightarrow C=0$.
Do đó, $\ln f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow f(x)={{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}.$
Vậy $f(\sqrt{2})={{e}^{\dfrac{{{(\sqrt{2})}^{2}}}{2}}}=e.$
Đáp án A.