Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

$g\left( x \right)=f\left( x-m \right)-\dfrac{1}{2}{{\left( x-m-1 \right)}^{2}}+2019$
${g}'\left( x \right)={f}'\left( x-m \right)-\left( x-m-1 \right)$
Đặt $t=x-m\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( t \right)-\left( t-1 \right)=h(t)$.
Cho ${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)-\left( t-1 \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=t-1$.

Theo đồ thị ta thấy ${f}'\left( t \right)=t-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=1 \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-m=-1 \\
& x-m=1 \\
& x-m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m-1 \\
& x=m+1 \\
& x=m+3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng xét dấu:

Hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 5 ; 6 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m-1\le 5 \\
& 6\le m+1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m+3\le 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le 6 \\
& 5\le m \\
\end{aligned} \right. \\
& m\le 2 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1 ; 2 ;5 ;6 \right\}$.
Vậy tổng các phần tử trong tập $S$ là $1+2+5+6=14$.