Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Ta chọn hàm số $y=ax+b$
Đồ thị của $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$ nên $a+b=0\left( 1 \right)$
Từ $f\left( 4-x \right)+f\left( x \right)=4,\forall x\in \mathbb{R}$, thay $x=1$ vào ta có $f\left( 3 \right)+f\left( 1 \right)=4\Leftrightarrow f\left( 3 \right)=4$. Hay đồ thị của $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $B\left( 3;4 \right)$ nên $3a+b=4\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)\And \left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& a+b=0 \\
& 3a+b=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)=2x-2;f'\left( x \right)=2$
Vậy tích phân $\int_{1}^{3}{x\left( x-2 \right)\left[ f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right]dx}=\int_{1}^{3}{x\left( x-2 \right)2xdx}=\int_{1}^{3}{\left( 2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{16}{3}$