Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g\left( x \right)=2f\left( {{x}^{3}}+1 \right)-3{{x}^{6}}-6{{x}^{3}}+{{2021}^{2022}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $g\left( \dfrac{1}{2} \right)>g\left( 0 \right)$.
B. $g\left( -\dfrac{6}{5} \right)>g\left( -1 \right)$.
C. $g\left( 2 \right)>g\left( 1 \right)$.
D. $g\left( -5 \right)>g\left( -4 \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}{f}'\left( {{x}^{3}}+1 \right)-18{{x}^{5}}-18{{x}^{2}}=6{{x}^{2}}\left( {f}'\left( {{x}^{3}}+1 \right)-3\left( {{x}^{3}}+1 \right) \right)$
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{3}}+1 \right)=3\left( {{x}^{3}}+1 \right)\quad \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó xét phương trình ${f}'\left( t \right)=3t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=0 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right. $do vậy phương trình $ \left( 1 \right)$ có các nghiệm
$x=0;x=-1;x=-\sqrt[3]{2}$. Và ${g}'\left( x \right)$ có ba nghiệm trên đồng thời là các nghiệm bội lẻ.
Từ đó ta có ${g}'\left( x \right)>0$ với $x\in \left( -\infty ;-\sqrt[3]{2} \right)\cup \left( -1;0 \right)$ và ${g}'\left( x \right)<0$ với $x\in \left( -\sqrt[3]{2};-1 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)$.
Vậy $g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-\sqrt[3]{2} \right);\left( -1;0 \right)$ nghịch biến trên $\left( -\sqrt[3]{2};-1 \right);\left( 0;+\infty \right)$.
B. $g\left( -\dfrac{6}{5} \right)>g\left( -1 \right)$.
C. $g\left( 2 \right)>g\left( 1 \right)$.
D. $g\left( -5 \right)>g\left( -4 \right)$.
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{3}}+1 \right)=3\left( {{x}^{3}}+1 \right)\quad \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó xét phương trình ${f}'\left( t \right)=3t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=0 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right. $do vậy phương trình $ \left( 1 \right)$ có các nghiệm
$x=0;x=-1;x=-\sqrt[3]{2}$. Và ${g}'\left( x \right)$ có ba nghiệm trên đồng thời là các nghiệm bội lẻ.
Từ đó ta có ${g}'\left( x \right)>0$ với $x\in \left( -\infty ;-\sqrt[3]{2} \right)\cup \left( -1;0 \right)$ và ${g}'\left( x \right)<0$ với $x\in \left( -\sqrt[3]{2};-1 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)$.
Vậy $g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-\sqrt[3]{2} \right);\left( -1;0 \right)$ nghịch biến trên $\left( -\sqrt[3]{2};-1 \right);\left( 0;+\infty \right)$.
Đáp án B.