Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}, xf'\left(x \right)={{e}^{x}}-1,\forall x\in \mathbb{R}, f\left( 1...

Phương pháp:
Sử dụng các công thức tính tích phân.
Cách giải:
Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=xdx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=f'\left( x \right)dx \\
& v=\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f'\left( x \right)dx}$
$=\dfrac{1}{2}f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{e}^{x}}-1 \right)dx}=-\dfrac{1}{2}J$
Ta có $J=\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{e}^{x}}-1 \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}-\int\limits_{0}^{1}{xdx}=\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}-\dfrac{1}{2}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv={{e}^{x}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v={{e}^{x}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}=e-\left( e-1 \right)=1.$
Vậy $I=-\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{1}{4}.$