Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ bên dưới. Xét hàm...

Phương pháp giải:
Ta có: $x=x_0$ là điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)\iff$ tại điểm $x=x_0$ thì hàm số có $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại.
Điểm $x=x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)\iff$ tại điểm $x=x_0$ thì hàm số có $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương.
Điểm $x=x_0$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left(x\right)\iff$ tại điểm $x=x_0$ thì hàm số có $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm.
Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $(a;b)\iff f^{\prime }\left(x\right)\le 0\mathrm{\forall }x\in (a;b).$
Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $(a;b)\iff f^{\prime }\left(x\right)\ge 0\mathrm{\forall }x\in (a;b).$
Giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta có:
Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$ và nghịch biến trên $(-\mathrm{\infty };0).$
Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x=1$ và đạt cực tiểu tại $x=0.$
Xét hàm số: $g\left(x\right)=f(x^2-3)$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)={(x^2-3)}^{\prime }{f}^{\prime }(x^2-3)$ $=2x{f}^{\prime }(x^2-3)$
$\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=0\iff 2x{f}^{\prime }(x^2-3)=0$
$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ f^{\prime }(x^2-3)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2-3=-2\\ x^2-3=1\end{array}$
$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=1\\ x^2=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}$
Với $x=3$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=6f^{\prime }\left(6\right)>0$
Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:
Hàm số $y=g\left(x\right)$ có 5 điểm cực trị ⇒I sai.
Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ ⇒II đúng.
Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=2$ ⇒III sai.
Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến trên $(-2;-1)$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)$ ⇒IV sai.
Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)\Rightarrow V$ sai.
Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.