Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)$ và các mệnh đề sau:
I. Hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
II. Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0.$
III. Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=2.$
IV. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right).$
V. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right).$
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
I. Hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
II. Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0.$
III. Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=2.$
IV. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right).$
V. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right).$
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
Phương pháp giải:
Ta có: $x={{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow $ tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì hàm số có ${y}'$ đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại.
Điểm $x={{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow $ tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì hàm số có ${y}'$ đổi dấu từ âm sang dương.
Điểm $x={{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow $ tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì hàm số có ${y}'$ đổi dấu từ dương sang âm.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;\ b \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\le 0\ \ \forall x\in \left( a;\ b \right).$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;\ b \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0\ \ \forall x\in \left( a;\ b \right).$
Giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có:
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left( -\infty ;0 \right).$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=1$ và đạt cực tiểu tại $x=0.$
Xét hàm số: $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)$ ta có: ${g}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-3 \right)}^{\prime }}{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)$ $=2x{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}-3=-2 \\
{{x}^{2}}-3=1 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}=1 \\
{{x}^{2}}=4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm 1 \\
x=\pm 2 \\
\end{array} \right.$
Với $x=3$ ta có: ${g}'\left( x \right)=6{f}'\left( 6 \right)>0$
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy:
Hàm số $y=g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị ⇒I sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ ⇒II đúng.
Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=2$ ⇒III sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2;-1 \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;0 \right)$ và đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$ ⇒IV sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;0 \right)$ và đồng biến trên $\left( 0;1 \right)\Rightarrow V$ sai.
Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.
Ta có: $x={{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow $ tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì hàm số có ${y}'$ đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại.
Điểm $x={{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow $ tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì hàm số có ${y}'$ đổi dấu từ âm sang dương.
Điểm $x={{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow $ tại điểm $x={{x}_{0}}$ thì hàm số có ${y}'$ đổi dấu từ dương sang âm.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;\ b \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\le 0\ \ \forall x\in \left( a;\ b \right).$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;\ b \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0\ \ \forall x\in \left( a;\ b \right).$
Giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có:
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left( -\infty ;0 \right).$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=1$ và đạt cực tiểu tại $x=0.$
Xét hàm số: $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)$ ta có: ${g}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-3 \right)}^{\prime }}{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)$ $=2x{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}-3=-2 \\
{{x}^{2}}-3=1 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}=1 \\
{{x}^{2}}=4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm 1 \\
x=\pm 2 \\
\end{array} \right.$
Với $x=3$ ta có: ${g}'\left( x \right)=6{f}'\left( 6 \right)>0$
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy:
Hàm số $y=g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị ⇒I sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ ⇒II đúng.
Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=2$ ⇒III sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2;-1 \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;0 \right)$ và đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$ ⇒IV sai.
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;0 \right)$ và đồng biến trên $\left( 0;1 \right)\Rightarrow V$ sai.
Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.
Đáp án D.