Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên của hàm số $f'\left( x \right)$ như sau: Hỏi hàm số...

Đặt $u=\dfrac{\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-2}{2}\Rightarrow u'=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1};u'=0\Leftrightarrow x=0.$
Dựa vào bảng biến thiên đề bài ta có
$f'\left( \left| u \right| \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| u \right|=a\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& \left| u \right|=b\in \left( -1;0 \right) \\
& \left| u \right|=c\in \left( 0;1 \right) \\
& \left| u \right|=d>1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| u \right|=c\in \left( 0;1 \right)\text{ }\left( 1 \right) \\
& \left| u \right|=d>1\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $\left| {{x}_{0}} \right|=\sqrt{{{e}^{2}}-1}$ thì $\left| u \right|$ có 3 cực trị, trong đó 1 cực đại, 2 cực tiểu. Bảng biến thiên mới theo biến $u$ là

Hai phương trình lần lượt có 4 và 2 nghiệm như sau
Giải $\left| u \right|=c\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}<-{{x}_{0}} \\
& {{x}_{2}}\in \left( -{{x}_{0}};0 \right) \\
& {{x}_{3}}\in \left( 0;{{x}_{0}} \right) \\
& {{x}_{4}}\in \left( 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right. $ và giải $ \left| u \right|=d>1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{5}}<{{x}_{1}} \\
& {{x}_{6}}>{{x}_{4}} \\
\end{aligned} \right.$
Chú ý $c$ là điểm cực đại và $d$ là điểm cực tiểu nên từ $\left( 1 \right)$ thu được 2 cực tiểu, từ $\left( 2 \right)$ thu được 1 cực tiểu.
Kết luận tổng cộng 5 điểm cực tiểu.