Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên của hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ như sau: Hỏi hàm số...

Đặt $u={\displaystyle \frac{\ln (x^2+1)-2}{2}}\Rightarrow u^{\prime }={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}};u^{\prime }=0\iff x=0.$
Dựa vào bảng biến thiên đề bài ta có
$f^{\prime }\left(\left|u\right|\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& \left|u\right|=a\in (-\mathrm{\infty };-1)\\ & \left|u\right|=b\in (-1;0)\\ & \left|u\right|=c\in (0;1)\\ & \left|u\right|=d>1\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{rl}& \left|u\right|=c\in (0;1)\left(1\right)\\ & \left|u\right|=d>1\left(2\right)\end{array}$
Với $\left|x_0\right|=\sqrt{e^2-1}$ thì $\left|u\right|$ có 3 cực trị, trong đó 1 cực đại, 2 cực tiểu. Bảng biến thiên mới theo biến $u$ là

Hai phương trình lần lượt có 4 và 2 nghiệm như sau
Giải $\left|u\right|=c\in (0;1)\Rightarrow [\begin{array}{rl}& x_1<-x_0\\ & x_2\in (-x_0;0)\\ & x_3\in (0;x_0)\\ & x_4\in (0;+\mathrm{\infty })\end{array}$ và giải $\left|u\right|=d>1\Rightarrow [\begin{array}{rl}& x_5<x_1\\ & x_6>x_4\end{array}$
Chú ý $c$ là điểm cực đại và $d$ là điểm cực tiểu nên từ $\left(1\right)$ thu được 2 cực tiểu, từ $\left(2\right)$ thu được 1 cực tiểu.
Kết luận tổng cộng 5 điểm cực tiểu.