Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left(...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên

(0; π)

thỏa mãn

f^{'} (x) = f (x) . \cot x + 2 x . \sin x

. Biết

f (\frac{π}{2}) = \frac{π^{2}}{4}

. Tính

f (\frac{π}{6})

.
A.

\frac{π^{2}}{36}

.
B.

\frac{π^{2}}{72}

.
C.

\frac{π^{2}}{54}

.
D.

\frac{π^{2}}{80}

.

\begin{aligned} f^{'} (x) = f (x) . \cot x + 2 x . \sin x \Leftrightarrow \sin x . f^{'} (x) - f (x) . \cos x + 2 x . \sin^{2} x \\ \Leftrightarrow \sin x . f^{'} (x) - f (x) . \cos x = 2 x . \sin^{2} x \Leftrightarrow \frac{s i n x . f^{'} (x) - f (x) . \cos x}{\sin^{2} x} = 2 x \\ \Rightarrow \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{s i n x . f^{'} (x) - f (x) . \cos x}{\sin^{2} x} d x = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 2 x . d x \Leftrightarrow \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} {(\frac{f (x)}{\sin x})}^{^{'}} d x = {x^{2} |}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \\ \Leftrightarrow {\frac{f (x)}{\sin x} |}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = \frac{π^{2}}{4} - \frac{π^{2}}{36} \Leftrightarrow \frac{f (\frac{π}{2})}{1} - \frac{f (\frac{π}{6})}{\frac{1}{2}} = \frac{π^{2}}{4} - \frac{π^{2}}{36} \Leftrightarrow f (\frac{π}{6}) = \frac{π^{2}}{72} \end{aligned}

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên $\left(...