Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ 1;2 \right]$, thỏa mãn $f\left( x \right)=x.{f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}$...

Phương pháp giải:
- Biến đổi, đưa về công thức đạo hàm của một thương.
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế tìm hàm $f\left( x \right)$.
- Sử dụng giả thiết tìm hằng số C.
- Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ hoàn chỉnh và tính $f\left( 2 \right)$.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
$f\left( x \right)=x.{f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x.{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)={{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x.{f}'\left( x \right)-{x}'.f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right)}^{\prime }}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}=\int{dx}=x+C$
Lại có $f\left( 1 \right)=3$ $\Rightarrow \dfrac{f\left( 1 \right)}{1}=1+C\Leftrightarrow 3=1+C\Leftrightarrow C=2$.
Vậy $\dfrac{f\left( x \right)}{x}=x+2\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x\Rightarrow f\left( 2 \right)=8$.