Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $[1;2]$, thỏa mãn $f\left(x\right)=x.f^{\prime }\left(x\right)-x^2$...

Phương pháp giải:
- Biến đổi, đưa về công thức đạo hàm của một thương.
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế tìm hàm $f\left(x\right)$.
- Sử dụng giả thiết tìm hằng số C.
- Suy ra hàm số $f\left(x\right)$ hoàn chỉnh và tính $f\left(2\right)$.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
$f\left(x\right)=x.f^{\prime }\left(x\right)-x^2\iff x.f^{\prime }\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2$
$\iff {\displaystyle \frac{x.f^{\prime }\left(x\right)-x^{\prime }.f\left(x\right)}{x^2}}=1\iff {\left({\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}\right)}^{\prime }=1$ $\iff {\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}=\int dx=x+C$
Lại có $f\left(1\right)=3$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{f\left(1\right)}{1}}=1+C\iff 3=1+C\iff C=2$.
Vậy ${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}=x+2\iff f\left(x\right)=x^2+2x\Rightarrow f\left(2\right)=8$.