Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x...

Ta có: ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1 \right)$.
Ta có: ${y}'={f}'\left( {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1 \right)\left( 3{{x}^{2}}-2mx+m-2 \right)$
Ta có: ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1=1 \left( 2 \right) \\
& g\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2mx+m-2=0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $\left( 1 \right)$ :
${{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1=0 \Leftrightarrow \left( x-1 \right).\left[ {{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& h\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-1=0 \\
\end{aligned} \right. $Xét phương trình $ \left( 2 \right)$:
${{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1=1 \Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-mx+m-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& k\left( x \right)={{x}^{2}}-mx+m-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
Xét phương trình $\left( 3 \right)$ :
Ta có $g\left( x \right)=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt do $\Delta {{'}_{g\left( x \right)}}={{m}^{2}}-3m+6>0,\forall m\in \mathbb{R}$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( 1 \right).g\left( 0 \right).h\left( 1 \right).k\left( 0 \right)\ne 0 \\
& {{\Delta }_{h}}>0 \\
& {{\Delta }_{k}}>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& m\ne 2 \\
& {{m}^{2}}-2m+5>0,\forall m\in \mathbb{R} \\
& {{m}^{2}}-4m+8>0,\forall m\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ và $m\ne 1,m\ne 2$ nên có 19 giá trị của m thỏa mãn đề bài.