Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( 2\sin x+\cos x \right),\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0$. Biết $F\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( a\sin x+b\cos x \right)+\dfrac{2}{5}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính giá trị biểu thức $T=a+2b-1.$
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $-1$.
C. $\dfrac{3}{5}$.
D. $1$.
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $-1$.
C. $\dfrac{3}{5}$.
D. $1$.
Ta có $\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x=}\int{{{e}^{2x}}\left( 2\sin x+\cos x \right)\text{d}x}={{e}^{2x}}.sinx+C$.
Do $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0$ hay $f\left( x \right)={{e}^{2x}}.\sin x$.
Hàm số $f\left( x \right)$ xác định $\forall x\in \mathbb{R}$.
Ta có $F'\left( x \right)=2{{e}^{2x}}\left( a\sin x+b\cos x \right)+{{e}^{2x}}\left( a\cos x-b\sin x \right)$ $={{e}^{2x}}\left[ \left( 2a-b \right)\sin x+\left( a+2b \right)\text{cos} x \right]$
$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right), \forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow $ ${{e}^{2x}}\left[ \left( 2a-b \right)\sin x+\left( a+2b \right)\text{cos} x \right]$ $=$ ${{e}^{2x}}\sin x$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a-b=1 \\
& a + 2b=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{5} \\
& b=-\dfrac{1}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $T=a+2b-1$ $=\dfrac{2}{5}+2.\left( -\dfrac{1}{5} \right)-1$ $=-1$.
Do $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0$ hay $f\left( x \right)={{e}^{2x}}.\sin x$.
Hàm số $f\left( x \right)$ xác định $\forall x\in \mathbb{R}$.
Ta có $F'\left( x \right)=2{{e}^{2x}}\left( a\sin x+b\cos x \right)+{{e}^{2x}}\left( a\cos x-b\sin x \right)$ $={{e}^{2x}}\left[ \left( 2a-b \right)\sin x+\left( a+2b \right)\text{cos} x \right]$
$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right), \forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow $ ${{e}^{2x}}\left[ \left( 2a-b \right)\sin x+\left( a+2b \right)\text{cos} x \right]$ $=$ ${{e}^{2x}}\sin x$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a-b=1 \\
& a + 2b=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{5} \\
& b=-\dfrac{1}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $T=a+2b-1$ $=\dfrac{2}{5}+2.\left( -\dfrac{1}{5} \right)-1$ $=-1$.
Đáp án B.