Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f\left( x \right)}$ có đạo hàm ${{f}^{'}}\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x-5 \right)$ với mọi ${x\in \mathbb{R}.}$ Hàm số ${g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$ đạt cực đại tại ${x=?}$
A. ${-1.}$
B. ${5.}$
C. ${0.}$
D. ${2.}$
A. ${-1.}$
B. ${5.}$
C. ${0.}$
D. ${2.}$
$g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+1 \right)'.f'\left( {{x}^{2}}+1 \right)=2x.f'\left( {{x}^{2}}+1 \right) \left( 1 \right)$
$f'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}1 \right)\left( x5 \right)\Rightarrow f'\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\left( {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}1 \right)\left( \left( {{x}^{2}}+1 \right)-5 \right)=\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}4 \right) \left( 2 \right)$ )
Từ (1) và (2) suy ra $g'\left( x \right)=2{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=0.$
$f'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}1 \right)\left( x5 \right)\Rightarrow f'\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\left( {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}1 \right)\left( \left( {{x}^{2}}+1 \right)-5 \right)=\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}4 \right) \left( 2 \right)$ )
Từ (1) và (2) suy ra $g'\left( x \right)=2{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=0.$
Đáp án C.