Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{(x-1)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m \right],\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m\in \left[ -5;5 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có tối thiểu 3 cực trị.
A. 8.
B. 10.
C. 9.
D. 11.
A. 8.
B. 10.
C. 9.
D. 11.
Phương pháp:
+) Cho C là đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $p>0$ :
Tịnh tiến C lên trên p đơn vị thì được đồ thị $y=f\left( x \right)+p.$
Tịnh tiến C xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị $y=f\left( x \right)-p$.
+) Biết trước đồ thị (C): $y=f\left( x \right)$ khi đó đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( \left| x \right| \right)$ là gồm phần :
- Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung;
- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.
Cách giải:
Xét phương trình ${{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m=0$ có $\Delta ={{\left( 1-3m \right)}^{2}}-8{{m}^{2}}+8m={{m}^{2}}+2m+1={{\left( m+1 \right)}^{2}}$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3m-1+m+1}{2}=2m \\
& x=\dfrac{3m-1-m-1}{2}=m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó: ${{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m=\left( x-2m \right)\left( x-m+1 \right)$.
$\Rightarrow f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m \right]={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-2m \right)\left( x-m+1 \right),\forall x\in \mathbb{R}$.
Nhận xét:
+) Số cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right|+m \right)$ bằng số cực trị của hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ (do đồ thị hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ được dựng bằng cách lấy đồ thị hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right|+m \right)$ tịnh tiến sang trái/phải $\left| m \right|$ đơn vị).
+) Để hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có tối thiểu 3 cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ có tối thiểu 1 cực trị dương.
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0$ có tối thiểu 1 nghiệm dương bội lẻ.
Với $2m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$ thì $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{4}}\left( x+\dfrac{1}{2} \right)$ không có nghiệm dương bội lẻ Loại.
Với $m-1=1\Leftrightarrow m=2$ thì $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{4}}\left( x-4 \right)$ có duy nhất một nghiệm dương bội lẻ là $x=4\Rightarrow $ Thỏa mãn.
Với $m\notin \left\{ \dfrac{1}{2};2 \right\}$ thì $f'\left( x \right)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm dương bội 3 là $x=1\Rightarrow $ Thỏa mãn.
Vậy tất cả các giá trị nguyên của $m\in \left[ -5;5 \right]$ đều thỏa mãn. (11 giá trị).
+) Cho C là đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $p>0$ :
Tịnh tiến C lên trên p đơn vị thì được đồ thị $y=f\left( x \right)+p.$
Tịnh tiến C xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị $y=f\left( x \right)-p$.
+) Biết trước đồ thị (C): $y=f\left( x \right)$ khi đó đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( \left| x \right| \right)$ là gồm phần :
- Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung;
- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.
Cách giải:
Xét phương trình ${{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m=0$ có $\Delta ={{\left( 1-3m \right)}^{2}}-8{{m}^{2}}+8m={{m}^{2}}+2m+1={{\left( m+1 \right)}^{2}}$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3m-1+m+1}{2}=2m \\
& x=\dfrac{3m-1-m-1}{2}=m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó: ${{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m=\left( x-2m \right)\left( x-m+1 \right)$.
$\Rightarrow f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m \right]={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-2m \right)\left( x-m+1 \right),\forall x\in \mathbb{R}$.
Nhận xét:
+) Số cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right|+m \right)$ bằng số cực trị của hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ (do đồ thị hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ được dựng bằng cách lấy đồ thị hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right|+m \right)$ tịnh tiến sang trái/phải $\left| m \right|$ đơn vị).
+) Để hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có tối thiểu 3 cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ có tối thiểu 1 cực trị dương.
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0$ có tối thiểu 1 nghiệm dương bội lẻ.
Với $2m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$ thì $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{4}}\left( x+\dfrac{1}{2} \right)$ không có nghiệm dương bội lẻ Loại.
Với $m-1=1\Leftrightarrow m=2$ thì $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{4}}\left( x-4 \right)$ có duy nhất một nghiệm dương bội lẻ là $x=4\Rightarrow $ Thỏa mãn.
Với $m\notin \left\{ \dfrac{1}{2};2 \right\}$ thì $f'\left( x \right)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm dương bội 3 là $x=1\Rightarrow $ Thỏa mãn.
Vậy tất cả các giá trị nguyên của $m\in \left[ -5;5 \right]$ đều thỏa mãn. (11 giá trị).
Đáp án D.