Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right);$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)$ có đúng $8$ điểm cực trị là
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right).{f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
${f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m+2\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi mỗi phương trình (1) và (2) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 và khác 2 (hai phương trình (1) và (2) không thể có nghiệm chung). Từ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
${f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m+2\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi mỗi phương trình (1) và (2) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 và khác 2 (hai phương trình (1) và (2) không thể có nghiệm chung). Từ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi
$\left\{\begin{array}{l}-4<-m+2<0 \\ -4<-m<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2<m<6 \\ 0<m<4\end{array} \Leftrightarrow 2<m<4\right.\right.$
Vậy có một giá trị nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.Đáp án D.