Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)=\left( x-7 \right)\left( {{x}^{2}}-16 \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( \left| {{x}^{9}}+8x \right|+m \right)$ có ít nhất ba điểm cực trị.
A. $5$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $6$.
A. $5$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $6$.
Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{9}}+8x+m \right)$, $y'=\left( 9{{x}^{8}}+8 \right)f'\left( {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}+m \right)$.
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}+m=7 \\
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}+m=4 \\
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}+m=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}=7-m \\
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}=4-m \\
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}=-4-m \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{9}}+8x\Rightarrow g'\left( x \right)=9{{x}^{8}}+8>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
BBT:
Hàm số $y=f\left( \left| {{x}^{9}}+8x \right|+m \right)$ là hàm chẵn, để nó có ít nhất $3$ điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( {{x}^{9}}+8x+m \right)$ có ít nhất một điểm cực trị dương. Dựa vào bảng biến thiên, ta có $7-m>0\Leftrightarrow m<7\xrightarrow{m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}}m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}+m=7 \\
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}+m=4 \\
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}+m=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}=7-m \\
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}=4-m \\
& {{x}^{9}}+9{{x}^{8}}=-4-m \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{9}}+8x\Rightarrow g'\left( x \right)=9{{x}^{8}}+8>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
BBT:
Đáp án D.