Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và trục hoành đồng thời có diện tích $S=a.$ Biết rằng $\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){f}'\left( x \right)\text{d}x}=b$ và $f\left( 3 \right)=c.$ Giá trị của $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng
A. $a-b-c.$
B. $-a+b+c.$
C. $-a+b-c.$
D. $a-b+c.$
A. $a-b-c.$
B. $-a+b+c.$
C. $-a+b-c.$
D. $a-b+c.$
+ Theo đề bài, miền hình phẳng trong hình vẽ đượcgiới hạn bởi đồ thị hàm số ${y=f\prime (x)}$ và trục hoành đồng thời có diện tích ${S=a}$ nên ta có
${a=\int_0^1 f\prime (x) d x-\int_1^3 f\prime (x) d x=\left.f(x)\right|_0 ^1-\left.f(x)\right|_1 ^3=f(1)-f(0)-f(3)+f(1)}$
${=2 f(1)-f(0)-c .}$
Suy ra ${2 f(1)-f(0)=a+c}$
${
+\text { Xét } \int_0^1(x+1) f\prime (x) d x=b \text { . }
}$
Đặt ${\left\{\begin{array}{l}u=x+1 \\ d v=f\prime (x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=f(x)\end{array}\right.\right.}$
${
\text { Khi dó } b=\int_0^1(x+1) f\prime (x) d x=\left.(x+1) f(x)\right|_0 ^1-\int_0^1 f(x) d x
}$
${
=2 f(1)-f(0)-\int_0^1 f(x) d x=a+c-\int_0^1 f(x) d x
}$
Vậy ${\int_0^1 f(x) d x=a+c-b}$.
${a=\int_0^1 f\prime (x) d x-\int_1^3 f\prime (x) d x=\left.f(x)\right|_0 ^1-\left.f(x)\right|_1 ^3=f(1)-f(0)-f(3)+f(1)}$
${=2 f(1)-f(0)-c .}$
Suy ra ${2 f(1)-f(0)=a+c}$
${
+\text { Xét } \int_0^1(x+1) f\prime (x) d x=b \text { . }
}$
Đặt ${\left\{\begin{array}{l}u=x+1 \\ d v=f\prime (x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=f(x)\end{array}\right.\right.}$
${
\text { Khi dó } b=\int_0^1(x+1) f\prime (x) d x=\left.(x+1) f(x)\right|_0 ^1-\int_0^1 f(x) d x
}$
${
=2 f(1)-f(0)-\int_0^1 f(x) d x=a+c-\int_0^1 f(x) d x
}$
Vậy ${\int_0^1 f(x) d x=a+c-b}$.
Đáp án D.