Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left(x \right)={{x}^{2}}{{\left(x+1 \right)}^{4}}{{\left(x-3 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}+mx...

Phương pháp:
- Giải phương trình $f'\left( x \right)=0$ xác định các nghiệm bội lẻ.
- Đặt $y=g\left( x \right)=f\left( 2x+1 \right),$ tính $g'\left( x \right)$ và giải phương trình $g'\left( x \right)=0.$
- Tìm điều kiện của $m$ để phương trình $g'\left( x \right)=0$ có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ.
Cách giải:
Ta có:
$f'\left( x \right)={{x}^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-3 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}+mx \right)$
$f'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-3 \right)}^{3}}\left( x+m \right)$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\left( nghiemboi3 \right) \\
& x=-1\left( nghiemboi4 \right) \\
& x=3\left( nghiemboi3 \right) \\
& x=-m\left( nghiemdon \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $y=g\left( x \right)=f\left( 2x+1 \right)$ ta có $g'\left( x \right)=2f'\left( 2x+1 \right).$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( 2x+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+1=0 \\
& 2x+1=3 \\
& 2x+1=m \\
\end{aligned} \right. $ (ta không xét các nghiệm bội chẵn vì qua đó $ g'\left( x \right) $ không đổi dấu) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2} \\
& x=1 \\
& x=\dfrac{m-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 1 điểm cực trị thì phương trình $g'\left( x \right)=0$ có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{m-1}{2}=-\dfrac{1}{2} \\
& \dfrac{m-1}{2}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-1=-1 \\
& m-1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện.