Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f'\left(x \right)={{\left(x-3 \right)}^{2020}}\left({{\pi }^{2x}}-{{\pi }^{x}}+2021 \right)\left(...

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff {(x-3)}^{2020}({\pi }^{2x}-{\pi }^x+2021)(x^2-2x)=0(\ast )$
$\iff [\begin{array}{rl}& x=3\\ & {\pi }^{2x}-{\pi }^x+2021=0\\ & x^2-2x=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=3\\ & x=2\\ & x=0\end{array}$ (trong đó $x=3$ là nghiệm bội chẵn).
Suy ra: $y^{\prime }=(2x-8).f^{\prime }(x^2-8x+m),y^{\prime }=0\iff (2x-8).f^{\prime }(x^2-8x+m)=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& 2x-8=0\\ & f^{\prime }(x^2-8x+m)=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=4\\ & x^2-8x+m=3\left(1\right)\\ & x^2-8x+m=2\left(2\right)\\ & x^2-8x+m=0\left(3\right)\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=4\\ & x^2-8x=3-m\left(1\right)\\ & x^2-8x=2-m\left(2\right)\\ & x^2-8x=-m\left(3\right)\end{array}$
Xét hàm số $y=h\left(x\right)=x^2-8x,h^{\prime }\left(x\right)=2x-8,h^{\prime }\left(x\right)=0\iff 2x-8=0\iff x=4.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=h\left(x\right).$

Vì $x=3$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ nên nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ không phải là điểm cực trị của hàm số.
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số có đúng ba điểm cực trị khi phương trình $\left(2\right)$ có hai nghiệm phân biệt đồng thời phương trình $\left(3\right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $x=4.$
$\iff \{\begin{array}{rl}& 2-m>-16\\ & -m\le -16\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m<18\\ & m\ge 16\end{array}\Rightarrow m\in \{16;17\}$.
Nếu $x=4$ là nghiệm của phương trình $\left(3\right)$ thì $m=16,$ suy ra phương trình $\left(2\right)\iff x^2-8x+14=0\iff [\begin{array}{rl}& x=4-\sqrt{2}\\ & x=4+\sqrt{2}\end{array}$ (không thỏa mãn $x_1^2+x_2^2+x_3^2=50).$
Nếu $m=17$ thì phương trình $\left(3\right)$ vô nghiệm, phương trình $\left(2\right)\iff x^2-8x+15=0\iff [\begin{array}{rl}& x=3\\ & x=5\end{array}$ (thỏa mãn: $3^2+4^2+5^2=50).$
Vậy $S=\left\{17\right\}.$