Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{\left( x-3 \right)}^{2020}}\left( {{\pi }^{2x}}-{{\pi }^{x}}+2021 \right)\left( {{x}^{2}}-2x \right),\forall x\in \mathbb{R}.$ Gọi $S$ là tập các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có đúng ba điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=50.$ Khi đó tổng các phần tử của $S$ bằng
A. 17.
B. 33.
C. 35.
D. 51.
A. 17.
B. 33.
C. 35.
D. 51.
Ta có: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2020}}\left( {{\pi }^{2x}}-{{\pi }^{x}}+2021 \right)\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0\left( * \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {{\pi }^{2x}}-{{\pi }^{x}}+2021=0 \\
& {{x}^{2}}-2x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right. $ (trong đó $ x=3$ là nghiệm bội chẵn).
Suy ra: $y'=\left( 2x-8 \right).f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right),y'=0\Leftrightarrow \left( 2x-8 \right).f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-8=0 \\
& f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x+m=3\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=2\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x=3-m\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x=2-m\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x=-m\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=h\left( x \right)={{x}^{2}}-8x,h'\left( x \right)=2x-8,h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x-8=0\Leftrightarrow x=4.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=h\left( x \right).$
Vì $x=3$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $f'\left( x \right)=0$ nên nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ không phải là điểm cực trị của hàm số.
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số có đúng ba điểm cực trị khi phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt đồng thời phương trình $\left( 3 \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $x=4.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-m>-16 \\
& -m\le -16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<18 \\
& m\ge 16 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 16;17 \right\}$.
Nếu $x=4$ là nghiệm của phương trình $\left( 3 \right)$ thì $m=16,$ suy ra phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+14=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4-\sqrt{2} \\
& x=4+\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. $ (không thỏa mãn $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=50).$
Nếu $m=17$ thì phương trình $\left( 3 \right)$ vô nghiệm, phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right. $ (thỏa mãn: $ {{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}=50).$
Vậy $S=\left\{ 17 \right\}.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {{\pi }^{2x}}-{{\pi }^{x}}+2021=0 \\
& {{x}^{2}}-2x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right. $ (trong đó $ x=3$ là nghiệm bội chẵn).
Suy ra: $y'=\left( 2x-8 \right).f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right),y'=0\Leftrightarrow \left( 2x-8 \right).f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-8=0 \\
& f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x+m=3\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=2\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x=3-m\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x=2-m\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x=-m\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=h\left( x \right)={{x}^{2}}-8x,h'\left( x \right)=2x-8,h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x-8=0\Leftrightarrow x=4.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=h\left( x \right).$
Vì $x=3$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $f'\left( x \right)=0$ nên nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ không phải là điểm cực trị của hàm số.
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số có đúng ba điểm cực trị khi phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt đồng thời phương trình $\left( 3 \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $x=4.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-m>-16 \\
& -m\le -16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<18 \\
& m\ge 16 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 16;17 \right\}$.
Nếu $x=4$ là nghiệm của phương trình $\left( 3 \right)$ thì $m=16,$ suy ra phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+14=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4-\sqrt{2} \\
& x=4+\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. $ (không thỏa mãn $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=50).$
Nếu $m=17$ thì phương trình $\left( 3 \right)$ vô nghiệm, phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right. $ (thỏa mãn: $ {{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}=50).$
Vậy $S=\left\{ 17 \right\}.$
Đáp án D.