Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-3 \right)$. Tìm số điểm cực trị của hàm số...

Phương pháp giải:
- Từ ${f}'\left( x \right)$ suy ra các nghiệm của phương trình ${f}'\left( x \right)=0$, chú ý nghiệm bội chẵn, bội lẻ.
- Tính đạo hàm ${g}'\left( x \right)$.
- Giải phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ xác định các nghiệm bội lẻ.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-1\left( nghiemboi2 \right) \\
x=3\left( nghiemdon \right) \\
\end{array} \right.$
Ta có:
$g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+6} \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\dfrac{2x+2}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+6}}{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+6} \right)$
$=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+6}}{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+6} \right)$
Cho ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x+1=0 \\
{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+6} \right)=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-1 \\
\sqrt{{{x}^{2}}+2x+6}=3 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-1 \\
{{x}^{2}}+2x+6=9 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-1 \\
{{x}^{2}}+2x-3=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-1 \\
x=1 \\
x=-3 \\
\end{array} \right.$ (đều là các nghiệm đơn)
(Ta không xét $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+6}=-1$ vì ${f}'\left( x \right)$ không đổi dấu qua $x=-1$ nên nghiệm của phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+6}=-1$ không làm cho ${g}'\left( x \right)$ đổi dấu).
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.