Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2x$ và $f\left( 0 \right)=1.$ Số điểm cực tiểu của hàm số $g\left( x...

Phương pháp:
- Tìm hàm số $y=f\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right)dx}.$
- Tính $g'\left( x \right),$ giải phương trình $g'\left( x \right)=0$ và xác định các nghiệm bội lẻ.
- Lập bảng xét dấu $g'\left( x \right)$ và tìm số điểm cực tiểu của hàm số.
Cách giải:
Ta có $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2x\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+C.$
Lại có $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1.$
Ta có: $g\left( x \right)={{f}^{3}}\left( x \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=3f'\left( x \right){{f}^{2}}\left( x \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0$
$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+2x=0\Leftrightarrow x=0$
(ta không xét ${{f}^{2}}\left( x \right)=0$ vì các nghiệm của phương trình này là nghiệm kép của phương trình $g'\left( x \right)=0$ nên sẽ không làm $g'\left( x \right)$ đổi dấu).
Bảng xét dấu $g'\left( x \right):$

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số $y=g\left( x \right)$ có 1 điểm cực tiểu.