Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm, đồng biến và nhận giá trị âm trên $\left( 0;+\infty \right).$ Hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ có bao nhiêu điểm cực trị trên $\left( 0;+\infty \right)$ ?
A. 1
B. Vô số
C. 2
D. 0
A. 1
B. Vô số
C. 2
D. 0
Phương pháp:
- Tính đạo hàm hàm số $g\left( x \right)$, sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương.
- Sử dụng dữ kiện đề bài cho xác định dấu của $g'\left( x \right).$
Cách giải:
Ta có: $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}\Rightarrow g'\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right).x-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}.$
Vì hàm số đồng biến và nhận giá trị âm trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)>0 \\
& x>0 \\
& f\left( x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)>0\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
Vậy hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ không có cực trị trên $\left( 0;+\infty \right).$
- Tính đạo hàm hàm số $g\left( x \right)$, sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương.
- Sử dụng dữ kiện đề bài cho xác định dấu của $g'\left( x \right).$
Cách giải:
Ta có: $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}\Rightarrow g'\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right).x-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}.$
Vì hàm số đồng biến và nhận giá trị âm trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)>0 \\
& x>0 \\
& f\left( x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)>0\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
Vậy hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ không có cực trị trên $\left( 0;+\infty \right).$
Đáp án D.