Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathbb{R}$. Hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ trên $\left( -\infty ;-2 \right]$, đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -2;3 \right]$ và đồ thị hàm số $y={f}''\left( x \right)$ trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Số điểm cực trị tối đa của hàm số $y=f\left( x \right)$ là:
A. $5$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $7$.
A. $5$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $7$.
Ta có $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị thuộc $\left[ -2;3 \right]$.
Ta thấy $y={f}'\left( x \right)$ có một nghiệm $x=a\in \left( -\infty ;-2 \right]$ và ${f}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( a;-2 \right)$ nên hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên trên $\left( a;-2 \right)$ nên $f\left( x \right)$ chỉ có 3 điểm cực trị trên $\left( -\infty ;3 \right)$.
Ta thấy $y={f}''\left( x \right)$ có một nghiệm $x=b\in \left[ 3;+\infty \right)$ và ${f}''\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm qua khi $x=b$ nên ${f}'\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=b$ nên hàm số ${f}'\left( x \right)$ có tối đa hai nghiệm trên $\left[ 3;+\infty \right)$
Giả sử phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm $c$ và $d$ $\left( c<d \right)$ trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Khi đó ta có được ${f}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 3;c \right)$ nên $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 3;c \right)$ khi đó $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Vậy hàm số có tối đa 5 điểm cực trị.
Ta thấy $y={f}'\left( x \right)$ có một nghiệm $x=a\in \left( -\infty ;-2 \right]$ và ${f}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( a;-2 \right)$ nên hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên trên $\left( a;-2 \right)$ nên $f\left( x \right)$ chỉ có 3 điểm cực trị trên $\left( -\infty ;3 \right)$.
Ta thấy $y={f}''\left( x \right)$ có một nghiệm $x=b\in \left[ 3;+\infty \right)$ và ${f}''\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm qua khi $x=b$ nên ${f}'\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x=b$ nên hàm số ${f}'\left( x \right)$ có tối đa hai nghiệm trên $\left[ 3;+\infty \right)$
Giả sử phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm $c$ và $d$ $\left( c<d \right)$ trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Khi đó ta có được ${f}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 3;c \right)$ nên $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 3;c \right)$ khi đó $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Vậy hàm số có tối đa 5 điểm cực trị.
Đáp án A.