Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai ${f}''\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ đồng thời thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=1;{f}'\left( 0 \right)=2021$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\int\limits_{0}^{1}{{f}''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=-2021$
B. $\int\limits_{0}^{1}{{f}''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=2021$
C. $\int\limits_{0}^{1}{{f}''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=1$
D. $\int\limits_{0}^{1}{{f}''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=-1$
A. $\int\limits_{0}^{1}{{f}''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=-2021$
B. $\int\limits_{0}^{1}{{f}''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=2021$
C. $\int\limits_{0}^{1}{{f}''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=1$
D. $\int\limits_{0}^{1}{{f}''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=-1$
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
Cách giải:
Ta có
$\int\limits_{0}^{1}{f''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x \right)d\left( f'\left( x \right) \right)}=\left( 1-x \right)f'\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{1}{f'\left( x \right)d\left( 1-x \right)}$
$=-f'\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{1}{f'\left( x \right)dx}=-f'\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)=-2021$
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
Cách giải:
Ta có
$\int\limits_{0}^{1}{f''\left( x \right)\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x \right)d\left( f'\left( x \right) \right)}=\left( 1-x \right)f'\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{1}{f'\left( x \right)d\left( 1-x \right)}$
$=-f'\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{1}{f'\left( x \right)dx}=-f'\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)=-2021$
Đáp án A.