Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f\left( x \right)}$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Số giá trị nguyên của tham số ${m}$ để hàm số ${y=f\left( {{x}^{2}}+4x+m \right)}$ nghịch biến trên ${\left( -1; 1 \right)}$ là
A. ${2.}$
B. ${3.}$
C. ${1.}$
D. ${0.}$
Số giá trị nguyên của tham số ${m}$ để hàm số ${y=f\left( {{x}^{2}}+4x+m \right)}$ nghịch biến trên ${\left( -1; 1 \right)}$ là
A. ${2.}$
B. ${3.}$
C. ${1.}$
D. ${0.}$
Ta có $y'=\left( 2x+4 \right)f'\left( {{x}^{2}}+4x+m \right).$
Hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ khi $y'\le 0\Leftrightarrow \left( 2x+4 \right)f'\left( {{x}^{2}}+4x+m \right)\le 0$ 0 với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{2}}+4x+m \right)\le 0$ với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow -2x\le {{x}^{2}}+4x+m\le 8$ với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x+m+2\ge 0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+4x+m-8\le 0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $ với mọi $ x\in \left( -1;1 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+2\ge -m$ với mọi $x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}} \left( {{x}^{2}}+4x+2 \right)\ge -m\Leftrightarrow m\ge 1$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-8\le -m$ với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ $\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Mac}} \left( {{x}^{2}}+4x-8 \right)\le -m\Leftrightarrow m\le 3$
Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+4x+m \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ khi $1\le m\le 3$
Vậy có ba giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cà bài toán.
Hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ khi $y'\le 0\Leftrightarrow \left( 2x+4 \right)f'\left( {{x}^{2}}+4x+m \right)\le 0$ 0 với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{2}}+4x+m \right)\le 0$ với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow -2x\le {{x}^{2}}+4x+m\le 8$ với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x+m+2\ge 0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+4x+m-8\le 0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $ với mọi $ x\in \left( -1;1 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+2\ge -m$ với mọi $x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}} \left( {{x}^{2}}+4x+2 \right)\ge -m\Leftrightarrow m\ge 1$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-8\le -m$ với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ $\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Mac}} \left( {{x}^{2}}+4x-8 \right)\le -m\Leftrightarrow m\le 3$
Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+4x+m \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ khi $1\le m\le 3$
Vậy có ba giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cà bài toán.
Đáp án B.