Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như ở...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có bảng xét dấu đạo hàm như ở bảng dưới đây.

Hỏi hàm số

g (x) = 3 - 2 f (x + \frac{1}{x})

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

(- \frac{1}{2}; 0)

.
B.

(\frac{1}{2}; 2)

.
C.

(- 2; - \frac{1}{2})

.
D.

(0; \frac{1}{2})

.

g^{'} (x) = - 2 f^{'} (x + \frac{1}{x}) . (1 - \frac{1}{x^{2}})

g^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow - 2 f^{'} (x + \frac{1}{x}) . (1 - \frac{1}{x^{2}}) > 0

\Leftrightarrow f^{'} (\frac{x^{2} + 1}{x}) . (\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}) < 0

\Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} x^{2} - 1 < 0 \\ f^{'} (\frac{x^{2} + 1}{x}) > 0 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} x^{2} - 1 > 0 \\ f^{'} (\frac{x^{2} + 1}{x}) < 0 \end{aligned} \end{aligned}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} x^{2} < 1 \\ \frac{x^{2} + 1}{x} < - 2 \lor 0 < \frac{x^{2} + 1}{x} < 2 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} x^{2} > 1 \\ - 2 < \frac{x^{2} + 1}{x} < 0 \lor \frac{x^{2} + 1}{x} > 2 \end{aligned} \end{aligned}

TH1:

{\begin{aligned} x^{2} < 1 \\ \frac{x^{2} + 1}{x} < - 2 \lor 0 < \frac{x^{2} + 1}{x} < 2 (1) \end{aligned}

(1)

\Leftrightarrow \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} < 0 \lor {\begin{aligned} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} < 0 \\ x > 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow \frac{{(x + 1)}^{2}}{x} < 0 \lor {\begin{aligned} \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} < 0 \\ x > 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x + 1 \neq 0 \\ x < 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x \neq - 1 \\ x < 0 \end{aligned}

Kết hợp với điều kiện

x^{2} < 1

, ta được:

- 1 < x < 0

.
TH2:

{\begin{aligned} x^{2} > 1 \\ - 2 < \frac{x^{2} + 1}{x} < 0 \lor \frac{x^{2} + 1}{x} > 2 (2) \end{aligned}

(2)

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 0 < \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} \\ x < 0 \end{aligned} \lor \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} > 0

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x > 0 \\ x \neq 1 \end{aligned}

.
Kết hợp điều kiện

x^{2} > 1

, ta được:

x > 1

.
Vậy các khoảng đồng biến là:

(- \infty; - 1), (1; + \infty) .

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như ở...