Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như ở bảng dưới đây.
Hỏi hàm số $g\left( x \right)=3-2f\left( x+\dfrac{1}{x} \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\dfrac{1}{2};0 \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$.
C. $\left( -2;-\dfrac{1}{2} \right)$.
D. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$.
A. $\left( -\dfrac{1}{2};0 \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$.
C. $\left( -2;-\dfrac{1}{2} \right)$.
D. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$.
$g'\left( x \right)=-2f'\left( x+\dfrac{1}{x} \right).\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)$
$g'\left( x \right)>0\Leftrightarrow -2f'\left( x+\dfrac{1}{x} \right).\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)>0$ $\Leftrightarrow f'\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x} \right).\left( \dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)<0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-1<0 \\
& f'\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x} \right)>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-1>0 \\
& f'\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x} \right)<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}<1 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<-2\vee 0<\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}>1 \\
& -2<\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<0\vee \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}<1 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<-2\vee 0<\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<2 (1) \\
\end{aligned} \right.$
(1) $\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{x}<0\vee \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}-2x+1}{x}<0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}<0\vee \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x}<0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+1\ne 0 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -1 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với điều kiện ${{x}^{2}}<1$, ta được: $-1<x<0$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}>1 \\
& -2<\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<0\vee \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}>2 (2) \\
\end{aligned} \right.$
(2) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{x} \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right.\vee \dfrac{{{x}^{2}}-2x+1}{x}>0 $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x\ne 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện ${{x}^{2}}>1$, ta được: $x>1$.
Vậy các khoảng đồng biến là: $\left( -\infty ;-1 \right),\left( 1;+\infty \right).$
$g'\left( x \right)>0\Leftrightarrow -2f'\left( x+\dfrac{1}{x} \right).\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)>0$ $\Leftrightarrow f'\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x} \right).\left( \dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)<0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-1<0 \\
& f'\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x} \right)>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-1>0 \\
& f'\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x} \right)<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}<1 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<-2\vee 0<\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}>1 \\
& -2<\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<0\vee \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}<1 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<-2\vee 0<\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<2 (1) \\
\end{aligned} \right.$
(1) $\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{x}<0\vee \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}-2x+1}{x}<0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}<0\vee \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x}<0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+1\ne 0 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -1 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với điều kiện ${{x}^{2}}<1$, ta được: $-1<x<0$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}>1 \\
& -2<\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}<0\vee \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}>2 (2) \\
\end{aligned} \right.$
(2) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{x} \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right.\vee \dfrac{{{x}^{2}}-2x+1}{x}>0 $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x\ne 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện ${{x}^{2}}>1$, ta được: $x>1$.
Vậy các khoảng đồng biến là: $\left( -\infty ;-1 \right),\left( 1;+\infty \right).$
Đáp án A.