Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2\left| x \right| \right)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $\left( 1;2 \right)$.
B. $\left( -2;0 \right)$.
C. $\left( 2;+\infty \right)$.
D. $\left( -1;1 \right)$.
A. $\left( 1;2 \right)$.
B. $\left( -2;0 \right)$.
C. $\left( 2;+\infty \right)$.
D. $\left( -1;1 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ và $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+2\left| x \right| \right)$. Ta có $h\left( x \right)=g\left( \left| x \right| \right)$.
${g}'\left( x \right)=\left( 2x+2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$. ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+2=0 \\
& {{x}^{2}}+2x=-2 \\
& {{x}^{2}}+2x=3 \\
& {{x}^{2}}+2x=8 \\
\end{aligned} \right.$.
$2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$
${{x}^{2}}+2x=-2$ : vô nghiệm
${{x}^{2}}+2x=3$ : do ${f}'\left( x \right)$ không đổi dấu khi qua $x=3$ nên ta không xét nghiệm của phương trình này.
${{x}^{2}}+2x=8\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-4 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ và ${h}'\left( x \right)$ như sau
Vậy hàm số $y=h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 1;2 \right)$.
${g}'\left( x \right)=\left( 2x+2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$. ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+2=0 \\
& {{x}^{2}}+2x=-2 \\
& {{x}^{2}}+2x=3 \\
& {{x}^{2}}+2x=8 \\
\end{aligned} \right.$.
$2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$
${{x}^{2}}+2x=-2$ : vô nghiệm
${{x}^{2}}+2x=3$ : do ${f}'\left( x \right)$ không đổi dấu khi qua $x=3$ nên ta không xét nghiệm của phương trình này.
${{x}^{2}}+2x=8\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-4 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ và ${h}'\left( x \right)$ như sau
Vậy hàm số $y=h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 1;2 \right)$.
Đáp án A.