Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3x...

Ta có $g'\left( x \right)=3\left( {{x}^{2}}-1 \right)f'\left( {{x}^{3}}-3x \right)-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left[ 3f'\left( {{x}^{3}}-3x \right)-{{x}^{2}}+4 \right].$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$, ta có:
$h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1\in \left[ -1;2 \right] \\
& x=1\in \left[ -1;2 \right] \\
\end{aligned} \right..$
Mà $h\left( -1 \right)=2,h\left( 1 \right)=-2,h\left( 2 \right)=2$ nên $h\left( x \right)\in \left[ -2;2 \right],\forall x\in \left[ -1;2 \right].$
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra $3.f'\left( {{x}^{3}}-3x \right)>0,\forall x\in \left[ -1;2 \right]\left( 1 \right).$
Mặt khác, với $x\in \left[ -1;2 \right]$ thì $4-{{x}^{2}}\ge 0(2).$
Từ (1) và (2) suy ra $3f'\left( {{x}^{3}}-3x \right)-{{x}^{2}}+4>0,\forall x\in \left[ -1;2 \right].$
Do đó xét $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-1 \right)\left[ 3f'\left( {{x}^{3}}-3x \right)-{{x}^{2}}+4 \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1\in \left[ -1;2 \right]$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( -1 \right)=f\left( 2 \right)+\dfrac{31}{15} \\
& g\left( 1 \right)=f\left( -2 \right)-3 \\
& g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-\dfrac{23}{15} \\
\end{aligned} \right. $ và $ f\left( -2 \right)<f\left( 2 \right) $ (do $ f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ -2;3 \right]).$
Nên $f\left( -2 \right)-3<f\left( 2 \right)-\dfrac{23}{15}<f\left( 2 \right)-\dfrac{23}{15}<f\left( 2 \right)+\dfrac{31}{15}$ hay $g\left( 1 \right)<g\left( 2 \right)<\left( -1 \right).$
Vậy $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( -2 \right)-3=-16-3=-19.$