Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $y={{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}-3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\infty ; 1 \right)$.
B. $\left( 1; 2 \right)$.
C. $\left( 3; 4 \right)$.
D. $\left( 2; 3 \right)$.
A. $\left( -\infty ; 1 \right)$.
B. $\left( 1; 2 \right)$.
C. $\left( 3; 4 \right)$.
D. $\left( 2; 3 \right)$.
Ta có ${y}'=3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}.{f}'\left( x \right)-6.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)=3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]$.
Hàm số đã cho đồng biến $\Leftrightarrow {y}'>0\Leftrightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]>0$.
TH1: Nếu $x<1$, khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)>0 \text{hoac} f\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)-2>0 \text{hoac} f\left( x \right)-2<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $f\left( x \right)=1$, suy ra $\Rightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]<0$.
Vậy hàm số đã cho không đồng biến trên $\left( -\infty ; 1 \right)$.
TH2: Nếu $x\in \left( 1; 2 \right)$, khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)-2>0 \text{hoac} f\left( x \right)-2<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $f\left( x \right)=\dfrac{5}{2}$, suy ra $\Rightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]<0$.
Vậy hàm số đã cho không đồng biến trên $\left( 1; 2 \right)$.
TH3: Nếu $x\in \left( 3; 4 \right)$, khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)-2<0 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \Rightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]>0$.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 3; 4 \right)$.
TH4: Nếu $x\in \left( 2; 3 \right)$, khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)-2<0 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \Rightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]<0$.
Vậy hàm số đã cho không đồng biến trên $\left( 2; 3 \right)$.
Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 3; 4 \right)$.
Hàm số đã cho đồng biến $\Leftrightarrow {y}'>0\Leftrightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]>0$.
TH1: Nếu $x<1$, khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)>0 \text{hoac} f\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)-2>0 \text{hoac} f\left( x \right)-2<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $f\left( x \right)=1$, suy ra $\Rightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]<0$.
Vậy hàm số đã cho không đồng biến trên $\left( -\infty ; 1 \right)$.
TH2: Nếu $x\in \left( 1; 2 \right)$, khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)-2>0 \text{hoac} f\left( x \right)-2<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $f\left( x \right)=\dfrac{5}{2}$, suy ra $\Rightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]<0$.
Vậy hàm số đã cho không đồng biến trên $\left( 1; 2 \right)$.
TH3: Nếu $x\in \left( 3; 4 \right)$, khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)-2<0 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \Rightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]>0$.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 3; 4 \right)$.
TH4: Nếu $x\in \left( 2; 3 \right)$, khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right)-2<0 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \Rightarrow 3.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]<0$.
Vậy hàm số đã cho không đồng biến trên $\left( 2; 3 \right)$.
Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 3; 4 \right)$.
Đáp án C.