Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Biết $f\left( 0 \right)=0,$ số nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{7\pi }{3} \right]$ của phương trình $f\left( f\left( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right) \right)=1$ là
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 5.
Đặt $t=\sqrt{3}\sin x+\cos x+2\sin \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right).$
Với $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{7\pi }{3} \right]\Rightarrow x+\dfrac{\pi }{6}\in \left[ 0;2\pi +\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right]\Rightarrow f\left( t \right)\in \left[ -2;2 \right].$
Phương trình có dạng $f\left( f\left( t \right) \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)={{\alpha }_{1}}\left( {{\alpha }_{1}}<-2 \right) \\
& f\left( t \right)=\alpha \left( -2<\alpha <0 \right) \\
& f\left( t \right)={{\alpha }_{2}}\left( {{\alpha }_{2}}>2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên ta có phương trình $f\left( t \right)=\alpha $ có nghiệm $t={{t}_{0}}\left( 0<{{t}_{0}}<2 \right).$
Khi đó phương trình $\sin \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{{{t}_{0}}}{2}$ cho ba nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{7\pi }{3} \right].$
Biết $f\left( 0 \right)=0,$ số nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{7\pi }{3} \right]$ của phương trình $f\left( f\left( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right) \right)=1$ làA. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 5.
Đặt $t=\sqrt{3}\sin x+\cos x+2\sin \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right).$
Với $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{7\pi }{3} \right]\Rightarrow x+\dfrac{\pi }{6}\in \left[ 0;2\pi +\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right]\Rightarrow f\left( t \right)\in \left[ -2;2 \right].$
Phương trình có dạng $f\left( f\left( t \right) \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)={{\alpha }_{1}}\left( {{\alpha }_{1}}<-2 \right) \\
& f\left( t \right)=\alpha \left( -2<\alpha <0 \right) \\
& f\left( t \right)={{\alpha }_{2}}\left( {{\alpha }_{2}}>2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên ta có phương trình $f\left( t \right)=\alpha $ có nghiệm $t={{t}_{0}}\left( 0<{{t}_{0}}<2 \right).$
Khi đó phương trình $\sin \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{{{t}_{0}}}{2}$ cho ba nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{7\pi }{3} \right].$
Đáp án B.