Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

Ta có $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right)-m+1 \right]\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{f}'\left[ f\left( x \right)-m+1 \right]$
Khi đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& {f}'\left[ f\left( x \right)-m+1 \right]=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
& f\left( x \right)-m+1=-1 \\
& f\left( x \right)-m+1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
& f\left( x \right)=m-2 \\
& f\left( x \right)=m+1 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số $g\left( x \right)$ có 6 điểm cực trị khi$\left[ \begin{aligned}
& m-2\le -3<m+1<5 \\
& -3<m-2<5\le m+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& -4<m<4 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& -1<m<7 \\
& m\ge 4 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -4<m\le -1 \\
& 4\le m<7 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 6 giá trị nguyên $m$ thoả yêu cầu bài toán.