Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

Đặt $t=1-2f\left( x \right)$. Khi đó phương trình $f\left( 1-2f\left( x \right) \right)=3$ trở thành $f\left( t \right)=3$
Dựa vào bảng biến thiên phương trình $f\left( t \right)=3$ có các nghiệm
$\left[ \begin{aligned}
& t=a \left( 0<a<1 \right) \\
& t=b \left( 1<b<\sqrt{2} \right) \\
& t=c \left( \sqrt{2}<c<4 \right) \\
& t=d \left( d>4 \right) \\
\end{aligned} \right.$

TH1: Với $t=a $ $\Leftrightarrow 1-2f\left( x \right)=a\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1-a}{2}$ với $0<a<1.$
Vì $0<a<1$ nên $0<\dfrac{1-a}{2}<\dfrac{1}{2}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1-a}{2}$ có 4 nghiệm (1)

TH2: Với $t=b $ $\Leftrightarrow 1-2f\left( x \right)=b\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1-b}{2}$ với $1<b<\sqrt{2}.$
Vì $1<b<\sqrt{2}.$ nên $\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}<\dfrac{1-b}{2}<0\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1-b}{2}$ có 4 nghiệm (2)

TH3: Với $t=c$ $\Leftrightarrow 1-2f\left( x \right)=c\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1-c}{2}$ với $\sqrt{2}<c<4.$
Vì $\sqrt{2}<c<4$ nên $-\dfrac{3}{2}<\dfrac{1-c}{2}<\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1-c}{2}$ có 4 nghiệm (3)

TH4: Với $t=d$ $\Leftrightarrow 1-2f\left( x \right)=d\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1-d}{2}$ với $d>4$
Vì $d>4$ nên $\dfrac{1-d}{2}<-\dfrac{3}{2}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1-c}{2}$ có 2 nghiệm (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra phương trình $\left( 1-2f\left( x \right) \right)=3$ có 14 nghiệm.
Giả thiết không đủ để kết luận $a>0$.