Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số

y = f (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1)

trên

[0; 2021 π]

có ít nhất bao nhiêu khoảng đồng biến?
A.

2042

B.

8084

C.

2021

D.

2020

Hàm số

y = \sin 2 x

có chu kỳ

T = π

, nên ta xét hàm số

y = f (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1)

trên

[0; π]

.
Ta có

y^{'} = f^{'} (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1) 4 \cos 2 x (\sin 2 x - 2)

.
Hàm số đồng biến

\Leftrightarrow f^{'} (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1) .2 \cos 2 x (\sin 2 x - 2) > 0

\Leftrightarrow \cos 2 x . f^{'} (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1) < 0 (*)

.
Vì

- 1 \leq \sin 2 x \leq 1 \Rightarrow - 2 \leq \sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1 \leq 6

.
Trường hợp 1:

\cos 2 x < 0 \Leftrightarrow \frac{π}{2} < 2 x < \frac{3 π}{2}

.

(*) \Rightarrow f^{'} (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1) > 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} - 1 < \sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1 < 0 \\ 1 < \sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1 < 6 \end{aligned}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} 2 - \sqrt{3} < \sin 2 x < 2 - \sqrt{2} \\ - 1 < \sin 2 x < 0 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arcsin (2 - \sqrt{2}) < x < \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arcsin (2 - \sqrt{3}) \\ \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} \end{aligned}

.
Trường hợp 2:

\cos 2 x > 0 \Leftrightarrow 2 x \in (0; \frac{π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}; 2 π)

.

(*) \Rightarrow f^{'} (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1) < 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} - 2 < \sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1 < - 1 \\ 0 < \sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1 < 1 \end{aligned}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} 2 - \sqrt{2} < \sin 2 x < 1 \\ 0 < \sin 2 x < 2 - \sqrt{3} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} \frac{1}{2} \arcsin (2 - \sqrt{2}) < x < \frac{π}{4} \\ 0 < x < \frac{1}{2} \arcsin (2 - \sqrt{3}) \end{aligned}

.
Suy ra hàm số

y = f (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1)

trên

[0; π]

có

4

khoảng đồng biến.
Vậy hàm số

y = f (\sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x + 1)

trên

[0; 2021 π]

có ít nhất

8084

khoảng đồng biến.

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ...