Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

Hàm số $y=\sin 2x$ có chu kỳ $T=\pi $, nên ta xét hàm số $y=f\left( {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1 \right)$ trên $\left[ 0;\pi \right]$.
Ta có ${y}'={f}'\left( {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1 \right)4\cos 2x\left( \sin 2x-2 \right)$.
Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow {f}'\left( {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1 \right).2\cos 2x\left( \sin 2x-2 \right)>0$
$\Leftrightarrow \cos 2x.{f}'\left( {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1 \right)<0 \left( * \right)$.
Vì $-1\le \sin 2x\le 1\Rightarrow -2\le {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1\le 6$.
Trường hợp 1: $\cos 2x<0\Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2}<2x<\dfrac{3\pi }{2}$.
$\left( * \right)\Rightarrow {f}'\left( {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1<{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1<0 \\
& 1<{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1<6 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2-\sqrt{3}<\sin 2x<2-\sqrt{2} \\
& -1<\sin 2x<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{1}{2}\arcsin \left( 2-\sqrt{2} \right)<x<\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{1}{2}\arcsin \left( 2-\sqrt{3} \right) \\
& \dfrac{\pi }{2}<x<\dfrac{3\pi }{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 2: $\cos 2x>0\Leftrightarrow 2x\in \left( 0; \dfrac{\pi }{2} \right) \cup \left( \dfrac{3\pi }{2}; 2\pi \right)$.
$\left( * \right)\Rightarrow {f}'\left( {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1 \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -2<{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1<-1 \\
& 0<{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1<1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2-\sqrt{2}<\sin 2x<1 \\
& 0<\sin 2x<2-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{2}\arcsin \left( 2-\sqrt{2} \right)<x<\dfrac{\pi }{4} \\
& 0<x<\dfrac{1}{2}\arcsin \left( 2-\sqrt{3} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra hàm số $y=f\left( {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1 \right)$ trên $\left[ 0;\pi \right]$ có $4$ khoảng đồng biến.
Vậy hàm số $y=f\left( {{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x+1 \right)$ trên $\left[ 0;2021\pi \right]$ có ít nhất $8084$ khoảng đồng biến.