Cho hàm số $y=f\left( x \right),$ biết $f'\left( x...

Phương pháp:
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;b \right)$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right)\le 0\forall x\in \left( a;b \right).$
- Cô lập tham số $m,$ đưa bất phương trình về dạng $m\le h\left( x \right)\forall x\in \left( a;b \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right).$
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right),$ kết hợp điều kiện đề bài tìm các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
Đặt $y=g\left( x \right)=f\left( 2-x \right)-\left( 1-m \right)x-6$ ta có $g'\left( x \right)=-f'\left( 2-x \right)+m-1$
Để hàm số nghịch biến trên $\left( 2;3 \right)$ thì $g'\left( x \right)\le 0\forall x\in \left( 2;3 \right)$
$-f'\left( 2-x \right)+m-1\le 0\forall x\in \left( 2;3 \right)\Leftrightarrow m-1\le f'\left( 2-x \right)\forall x\in \left( 2;3 \right)$
$\Leftrightarrow m-1\le \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} f'\left( 2-x \right)$
Vì $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1$
$\Rightarrow f'\left( 2-x \right)={{\left( 2-x \right)}^{3}}-3\left( 2-x \right)+1$
$=8-12x+6{{x}^{2}}-{{x}^{3}}-6+3x+1$
$=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+3$
Xét hàm số $f'\left( 2-x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+3=h\left( x \right)$ trên $\left[ 2;3 \right]$ ta có:
$h'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3\in \left[ 2;3 \right] \\
& x=1\notin \left[ 2;3 \right] \\
\end{aligned} \right..$
$h\left( 2 \right)=1,h\left( 3 \right)=3$
$\Rightarrow \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} f'\left( 2-x \right)=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=1.$
$\Rightarrow m-1\le 1\Leftrightarrow m\le 2.$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $-5\le m\le 2.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2 \right\}.$
Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.