Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ biết $f(0)=\dfrac{1}{2}\text{ v...

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phân $\int\limits_{a}^{b}{u}dv=\left. uv \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v}du$.
- Sử dụng phương pháp đổi biến số sau đó tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
u=f(x) \\
dv=xdx \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
du={{f}^{\prime }}(x)dx \\
v=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{2} \\
\end{array} \right. \right.$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x}f(x)dx=\left. \dfrac{{{x}^{2}}-1}{2}f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2}}-1}{2}}f'(x)dx$
$\begin{array}{*{35}{l}}
=\dfrac{1}{2}f(0)-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}x{{e}^{{{x}^{2}}}}dx \\
=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}I=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}I \\
\end{array}$

Đặt $t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx$
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0\Rightarrow t=0 \\
x=1\Rightarrow t=1 \\
\end{array} \right.$
Khi đó ta có:
$\begin{aligned}
& I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{(t-1)}{{e}^{t}}dt=\dfrac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{1}{t}{{e}^{t}}dt-\int_{0}^{1}{{{e}^{t}}}dt \right) \\
& =\dfrac{1}{2}\left( t.\left. {{e}^{t}} \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}}dt-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}}dt \right) \\
& =\dfrac{1}{2}\left( e-\left. 2{{e}^{t}} \right|_{0}^{1} \right)=\dfrac{1}{2}(e-2e+2)=\dfrac{2-e}{2} \\
\end{aligned}$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{x}f(x)dx=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}I=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2-e}{4}=\dfrac{e-1}{4}$.