Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ với $a\ne 0$ có hai hoành độ cực trị là $x=1$ và $x=3.$ Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left( x \right)=f\left( m \right)$ có đúng ba nghiệm phân biệt là
A. $\left( 0;4 \right)\backslash \left\{ 1;3 \right\}$
B. $\left( 0;4 \right)$
C. $\left( 1;3 \right)$
D. $\left( f\left( 1 \right);f\left( 3 \right) \right)$
A. $\left( 0;4 \right)\backslash \left\{ 1;3 \right\}$
B. $\left( 0;4 \right)$
C. $\left( 1;3 \right)$
D. $\left( f\left( 1 \right);f\left( 3 \right) \right)$
Vì hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ với $a\ne 0$ có hai hoành độ cực trị là $x=1$ và $x=3.$
Suy ra $f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c=3a\left( x-1 \right)\left( x-3 \right),\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-6a \\
& c=9a \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-6a{{x}^{2}}+9ax+d$
Do đó ta có $f\left( 1 \right)=f\left( 4 \right)=4a+d;f\left( 0 \right)=f\left( 3 \right)=d.$
Trường hợp 1. Với $a>0$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $f\left( x \right)=t$ có ba nghiệm phân biệt khi $f\left( 3 \right)<t<f\left( 1 \right)$
Xét phương trình: $f\left( m \right)=t,t\in \left( f\left( 3 \right);f\left( 1 \right) \right)\Leftrightarrow m\in \left( 0;4 \right)\backslash \left\{ 1;3 \right\}.$
Trường hợp 2. Với $a<0$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $f\left( x \right)=t$ có ba nghiệm phân biệt khi $f\left( 1 \right)<t<f\left( 3 \right)$
Xét phương trình: $f\left( m \right)=t,t\in \left( f\left( 1 \right);f\left( 3 \right) \right)\Leftrightarrow m\in \left( 0;4 \right)\backslash \left\{ 1;3 \right\}.$
Vậy để phương trình $f\left( x \right)=f\left( m \right)$ có đúng ba nghiệm phân biệt khi $m\in \left( 0;4 \right)\backslash \left\{ 1;3 \right\}.$
Suy ra $f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c=3a\left( x-1 \right)\left( x-3 \right),\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-6a \\
& c=9a \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-6a{{x}^{2}}+9ax+d$
Do đó ta có $f\left( 1 \right)=f\left( 4 \right)=4a+d;f\left( 0 \right)=f\left( 3 \right)=d.$
Trường hợp 1. Với $a>0$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $f\left( x \right)=t$ có ba nghiệm phân biệt khi $f\left( 3 \right)<t<f\left( 1 \right)$
Xét phương trình: $f\left( m \right)=t,t\in \left( f\left( 3 \right);f\left( 1 \right) \right)\Leftrightarrow m\in \left( 0;4 \right)\backslash \left\{ 1;3 \right\}.$
Trường hợp 2. Với $a<0$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $f\left( x \right)=t$ có ba nghiệm phân biệt khi $f\left( 1 \right)<t<f\left( 3 \right)$
Xét phương trình: $f\left( m \right)=t,t\in \left( f\left( 1 \right);f\left( 3 \right) \right)\Leftrightarrow m\in \left( 0;4 \right)\backslash \left\{ 1;3 \right\}.$
Vậy để phương trình $f\left( x \right)=f\left( m \right)$ có đúng ba nghiệm phân biệt khi $m\in \left( 0;4 \right)\backslash \left\{ 1;3 \right\}.$
Đáp án B.