Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \left(...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)

có đồ thị như hình vẽ

và hàm số

g (x) = \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x} + | 4 - 2 x | + 2 | x |}{| x - 2 | + | x |}

.
Đặt

h (x) = f (g (x)) - f (x^{2} + 2) + f (1 - \sqrt{1 - x^{2}})

. Gọi

M

là giá trị lớn nhất của

h (x)

. Giá trị

M

thuộc khoảng nào sau đây
A.

(4; 6)

B.

(2; 4)

C.

(6; 9)

D.

(0; 2)

g (x) = \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x} + | 4 - 2 x | + 2 | x |}{| x - 2 | + | x |} = \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x}}{| x - 2 | + | x |} + 2

Ta có

\frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x}}{| x - 2 | + | x |} \leq \frac{\sqrt{(1 + 1) (x + 1 + 1 - x)}}{| x - 2 - x |} = 1

dấu bằng xảy ra khi

x = 0

.
Do đó

{\begin{aligned} g (x) \leq 3 \Rightarrow f (g (x)) \leq 3. \\ x^{2} + 2 \geq 2 \Rightarrow f (x^{2} + 2) \geq - 1 \Rightarrow - f (x^{2} + 2) \leq 1 \\ 1 - \sqrt{1 - x^{2}} \in [0; 1] \Rightarrow f (1 - \sqrt{1 - x^{2}}) \leq 3 \end{aligned} \Rightarrow

h (x) \leq 7

Đạt được khi

x = 0

.

Đáp án C.