Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị như hình vẽ
và hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}+\left| 4-2x \right|+2\left| x \right|}{\left| x-2 \right|+\left| x \right|}$.
Đặt $h\left( x \right)=f\left( g\left( x \right) \right)-f\left( {{x}^{2}}+2 \right)+f\left( 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của $h\left( x \right)$. Giá trị $M$ thuộc khoảng nào sau đây
A. $\left( 4;6 \right)$
B. $\left( 2; 4 \right)$
C. $\left( 6;9 \right)$
D. $\left( 0; 2 \right)$
và hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}+\left| 4-2x \right|+2\left| x \right|}{\left| x-2 \right|+\left| x \right|}$.
Đặt $h\left( x \right)=f\left( g\left( x \right) \right)-f\left( {{x}^{2}}+2 \right)+f\left( 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của $h\left( x \right)$. Giá trị $M$ thuộc khoảng nào sau đây
A. $\left( 4;6 \right)$
B. $\left( 2; 4 \right)$
C. $\left( 6;9 \right)$
D. $\left( 0; 2 \right)$
$g\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}+\left| 4-2x \right|+2\left| x \right|}{\left| x-2 \right|+\left| x \right|}=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}{\left| x-2 \right|+\left| x \right|}+2$
Ta có $\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}{\left| x-2 \right|+\left| x \right|}\le \dfrac{\sqrt{\left( 1+1 \right)\left( x+1+1-x \right)}}{\left| x-2-x \right|}=1$ dấu bằng xảy ra khi $x=0$.
Do đó
$\left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)\le 3\Rightarrow f\left( g\left( x \right) \right)\le 3. \\
& {{x}^{2}}+2\ge 2\Rightarrow f\left( {{x}^{2}}+2 \right)\ge -1\Rightarrow -f\left( {{x}^{2}}+2 \right)\le 1 \\
& 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow f\left( 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\le 3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ $ h\left( x \right)\le 7 $ Đạt được khi $ x=0$.
Ta có $\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}{\left| x-2 \right|+\left| x \right|}\le \dfrac{\sqrt{\left( 1+1 \right)\left( x+1+1-x \right)}}{\left| x-2-x \right|}=1$ dấu bằng xảy ra khi $x=0$.
Do đó
$\left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)\le 3\Rightarrow f\left( g\left( x \right) \right)\le 3. \\
& {{x}^{2}}+2\ge 2\Rightarrow f\left( {{x}^{2}}+2 \right)\ge -1\Rightarrow -f\left( {{x}^{2}}+2 \right)\le 1 \\
& 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow f\left( 1-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\le 3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ $ h\left( x \right)\le 7 $ Đạt được khi $ x=0$.
Đáp án C.